Petougao

U geometriji, petougao (ode grčkog πέντε pente sa značenjem pet i γωνία gonia sa značenjem ugao) mnogougao je sa pet temena i pet stranica. Suma unutrašnjih uglova jednostavnog petougla je 540°.

Petougao
Jednakostranični petougao, odnosno petougao čijih pet stranica ima istu dužinu
Ivice i temena	5
Unutrašnji ugao (stepeni)	108° (ako je jednakougaon, uključujući i regularan)

Pravilni petougao

Pravilni petougao, strane ($t$), radijus opisanog kruga ($R$), radijus upisanog kruga ($r$), visine (($R+r$)), odnosa širina/dijagonala ($\varphi t$)

Pravilni petougao je petougao kod koga su sve stranice jednake dužine i svi unutrašnji uglovi jednaki. Svaki unutrašnji ugao pravilnog petougla ima po 108° (stepeni), a zbir svih unutrašnjih uglova bilo kog petougla iznosi 540°. Ako mu je osnovna stranica dužine $a\,\!$, površina pravilnog petougla se određuje formulom $P={\frac {5a^{2}}{4}}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 1.72048a^{2}$.

Površina se može izračunati i sa
$P={\frac {5}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{5}}$
gde je $R$ - poluprečnik opisanog kruga, a $r$ - poluprečnik upisanog kruga. Obim petougla kome je stranica dužine $a\,\!$ biće jednak $5a\,\!$. Odnos dijagonale i stranice petougla jednak je ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, što odgovara zlatnom preseku.

Pravilan petougao ima pet linija refleksijske simetrije, i rotacionu simetriju reda 5 (kroz 72°, 144°, 216° i 288°). Dijagonale konveksnog pravilnog petougla su u zlatnom preseku prema njegovim stranicama. Njegova visina (udaljenost od jedne strane do suprotnog vrha) i širina (udaljenost između dve najudaljenije razdvojene tačke, koja je jednaka dužini dijagonale) su date kao

${\text{Висина}}={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot {\text{Side}}\approx 1.539\cdot {\text{стране}},$

${\text{Ширина}}={\text{Diagonal}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\text{стране}}\approx 1.618\cdot {\text{стране}},$

${\text{Ширина}}={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot {\text{висине}}\approx 1.051\cdot {\text{висине}},$

${\text{Дијагонала}}=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,$

gde je R poluprečnik opisanog kruga.

Površina konveksnog pravilnog petougla sa dužinom stranice t je data sa

$A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}t^{2}}{4}}\approx 1.720t^{2}.$

Kada je pravilan petougao opisan krugom poluprečnika R, njegova dužina ivice t je data izrazom

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176R,$

a njegova površina je

$A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};$

pošto je površina opisanog kruga $\pi R^{2},$ pravilni pentagon ispunjava približno 0,7568 svog opisanog kruga.

Izvođenje formule površine

Površina bilo kog pravilnog poligona je:

$A={\frac {1}{2}}Pr$

gde je P obim poligona, a r poluprečnik (ekvivalentno apotema). Zamena vrednosti regularnog pentagona za P i r daje formulu

$A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan({\frac {3\pi }{10}})}{2}}={\frac {5t^{2}\tan({\frac {3\pi }{10}})}{4}}$

sa dužinom stranice t.

Intraradijus

Slično svakom pravilnom konveksnom poligonu, pravilan konveksni petougao ima upisan krug. Apotema, koja je poluprečnik r upisanog kruga, pravilnog petougla je povezana sa dužinom stranice t pomoću

$r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.$

Tetive od opisanog kruga do vrhova

Kao i svaki pravilan konveksni mnogougao, pravilni konveksni petougao ima opisan krug. Za pravilan petougao sa uzastopnim vrhovima A, B, C, D, E, ako je P bilo koja tačka na opisanoj kružnici između tačaka B i C, onda je PA + PD = PB + PC + PE.

Tačka u ravni

Za proizvoljnu tačku u ravni pravilnog petougla sa poluprečnikom kruga $R$, čija su rastojanja do težišta pravilnog pentagona i njegovih pet vrhova $L$ i $d_{i}$ respektivno, važi

$\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}=5(R^{2}+L^{2}),$

$\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}=5((R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}),$

$\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}=5((R^{2}+L^{2})^{3}+6R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})),$

$\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}=5((R^{2}+L^{2})^{4}+12R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{2}+6R^{4}L^{4}).$

Ako su $d_{i}$ rastojanja od vrhova pravilnog petougla do bilo koje tačke na njegovoj opisanoj kružnici, onda je

$3(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2})^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.$

Konstrukcija

Pravilni petougao se može konstruisati uz pomoć lenjira i šestara. Sledeća animacija ilustruje korak po korak, jednu od mogućih konstrukcija.

Animirani prikaz konstrukcije petougla pomoću šestara i lenjira

Euklidov metod

Euklidov metod za pentagon u datom krugu, korišćenje zlatnog trougla, animacija 1 min 39 s

Pravilan petougao se može konstruisati pomoću šestara i lenjira, bilo upisivanjem u dati krug, ili konstruisanjem na datoj ivici. Ovaj proces je opisao Euklid u svojim Elementima oko 300. godine p. n. e.

Galerija

• 
  Zgrada Pentagona u kojoj je smešteno Ministarstvo odbrane SAD ima oblik pravilnog petougla.
• 
  Državna oznaka za kvalitet korišćena u nekadašnjem Sovjetskom Savezu imala je modifikovani petougao u svojoj osnovi.
• 
  Petougao se može dobiti vezivanjem papirne trake u čvor.

Vidi još

• Dodekaedar

Literatura

• Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd izd.). CRC Press. str. 329. ISBN 1-58488-347-2. 
• DeTemple, Duane W. (februar 1991). „Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions” (PDF). The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97—108. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Arhivirano iz originala (PDF) 2015-12-21. g. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Bagina, Olga (2004), „Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons”, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 105 (2): 221—232, ISSN 1096-0899, MR 2046081, doi:10.1016/j.jcta.2003.11.002  
• Bagina, Olga (2011), Mozaiki iz vыpuklыh pяtiugolьnikov [Tilings of the plane with convex pentagons], Vestnik (na jeziku: ruski), 4 (48): 63—73, ISSN 2078-1768, Pristupljeno 29. 1. 2013 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Bellos, Alex (11. 8. 2015), „Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile”, The Guardian CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Chavey, D. (1989), „Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings”, Computers & Mathematics with Applications, 17 (1–3): 147–165, doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9  
• Gardner, Martin (1988), „Tiling with Convex Polygons”, Time travel and other mathematical bewilderments, New York: W.H. Freeman, Bibcode:1988ttom.book.....G, ISBN 978-0-7167-1925-0, MR 0905872 
• Gerver, M. L. (2003), „Theorems on tessellations by polygons”, Sbornik: Mathematics, 194 (6): 879—895, Bibcode:2003SbMat.194..879G, doi:10.1070/sm2003v194n06abeh000743 
• Godrèche, C. (1989), „The sphinx: a limit-periodic tiling of the plane”, Journal of Physics A: Mathematical and General, 22 (24): L1163—L1166, Bibcode:1989JPhA...22L1163G, MR 1030678, doi:10.1088/0305-4470/22/24/006 
• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1978), „Isohedral tilings of the plane by polygons”, Commentarii Mathematici Helvetici, 53: 542—571, ISSN 0010-2571, doi:10.1007/bf02566098 
• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1987), „Tilings by polygons”, Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-1193-3, MR 0857454 
• Hirschhorn, M. D.; Hunt, D. C. (1985), „Equilateral convex pentagons which tile the plane” (PDF), Journal of Combinatorial Theory, Series A, 39 (1): 1—18, ISSN 1096-0899, MR 787713, doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0 , Pristupljeno 2020-10-30 
• Kershner, Richard (1968), „On paving the plane”, American Mathematical Monthly, 75 (8): 839—844, ISSN 0002-9890, JSTOR 2314332, MR 0236822, doi:10.2307/2314332 
• Klaassen, Bernhard (2016), „Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons”, Elemente der Mathematik, 71 (4): 137—144, ISSN 0013-6018, arXiv:1509.06297 , doi:10.4171/em/310 
• Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer; Von Derau, David (2018), „Convex pentagons that admit $i$-block transitive tilings”, Geometriae Dedicata, 194 (1): 141—167, arXiv:1510.01186 , doi:10.1007/s10711-017-0270-9 
• Rao, Michaël (2017), Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane (PDF), arXiv:1708.00274  
• Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (Dissertation) (na jeziku: nemački), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske 
• Schattschneider, Doris (1978), „Tiling the plane with congruent pentagons”, Mathematics Magazine, 51 (1): 29—44, ISSN 0025-570X, JSTOR 2689644, MR 0493766, doi:10.2307/2689644 
• Schattschneider, Doris (1985), „A new pentagon tiler”, Mathematics Magazine, 58 (5): 308, The cover has a picture of the new tiling 
• Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2005), „Systematic study of convex pentagonal tilings. I. Case of convex pentagons with four equal-length edges”, Forma, 20: 1—18, MR 2240616, Arhivirano iz originala 04. 03. 2016. g., Pristupljeno 21. 12. 2021 
• Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2009), „Systematic study of convex pentagonal tilings, II: tilings by convex pentagons with four equal-length edges”, Forma, 24 (3): 93—109, MR 2868775, Arhivirano iz originala 22. 08. 2020. g., Pristupljeno 21. 12. 2021 ; Errata Arhivirano na sajtu Wayback Machine (5. avgust 2021), Forma 25 (1): 49, 2010, MR2868824
• Sugimoto, Teruhisa (2012), „Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I”, Forma, 27 (1): 93—103, MR 3030316, Arhivirano iz originala 20. 05. 2020. g., Pristupljeno 21. 12. 2021 
• Wolchover, Natalie (11. 7. 2017), „Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem”, Quanta Magazine CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Becker, Udo (1994). „Pentagram”. The Continuum Encyclopedia of Symbols. Prevod: Garmer, Lance W. New York City: Continuum Books. str. 230. ISBN 978-0-8264-0644-6. 
• Conway, John Horton; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (april 2008). „Chapter 26, Higher Still: Regular Star-Polytopes”. The Symmetries of Things. Wellesley, Massachusetts: A. K. Peters. str. 404. ISBN 978-1-56881-220-5. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Ferguson, George Wells (1966) [1954]. Signs and Symbols in Christian Art. New York City: Oxford University Press. str. 59. OCLC 65081051. 
• Gravrand, Henry (januar 1990). La civilisation Sereer, Volume II: Pangool. Nouvelles éditions Africaines du Sénégal (na jeziku: francuski). Dakar, Senegal. ISBN 2-7236-1055-1. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey Colin (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3. 
• Grünbaum, Branko (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ur.: Bisztriczky, T.; McMullen, P.; Schneider, A.; Weiss, A. Ivić. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 440. Dordrecht: Springer Netherlands. str. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4. doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3. 

Spoljašnje veze

• Petougao na Mathworld (jezik: engleski)
• Definicija i osobine petougla, sa interaktivnom animacijom (jezik: engleski)
• Raul A. Simon, Approximate Construction of Regular Polygons: Two Renaissance Artists (jezik: engleski)
• Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
• How to construct a regular pentagon with only a compass and straightedge.
• How to fold a regular pentagon using only a strip of paper
• Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons
• Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.