Фаулхаберова формула

Фаулхаберова формула представља суму:

Добила је име по немачком математичару Јохану Фаулхаберу. Формула се може представити преко Бернулијевих бројева као:

Примери

уреди
 
 
 
 
 
 

Доказ

уреди

Дефинишемо ли суму

 

Тада је:

 
 

Покушајмо сада да   изразимо у облику полинома:

 

Уврстимо ли то у други израз у овом поглављу добијамо:

 

Користимо биномну теорему, па следи:

 
 

Двоструку суму на левој страни преуредимо узимајући у обзир jk:

 

и коначно се добија:

 

Десна страна је једнака нули за j>p, па је онда   за k>p. Обе стране једначине множимо са j!, па уз коришћење Поххамеровога симбола вреди:

 
 

Супституцијом k=k'+t и преуређењем добија се:

 

односно:

 

За k'=0 је:

 

а то управо одговара Бернулијевим бројевима, тако да коначно добијамо:

 

Веза са Бернулијевим полиномима

уреди
 

а ту су   Бернулијеви полиноми.

Фаулхаберови полиноми

уреди

Фаулхабер је уочио да у случају непарнога p сума

 

представља полином од

 

Тако је нпр:

 
 
 
 
 

Литература

уреди