Диракова делта функција

Диракова (делта) функција или δ функција се описује као функција у реалној равни, чија је вредност у свим тачкама 0, осим у тачки 0 када износи бесконачно много, дефинисана тако да је њен интеграл по целој области дефинсаности 1.

Шематски приказ Дирекове делта функције линијом на чијем врху је стрелица. Висина стрелице се обично користи за специфицирање вредности мултипликативне константе, која даје површину испод области испод функције. Друга врста записивања је да се напише површина поред стрелице.
Диракова делта функција је гранична вредност свих нормалних расподела са максимумом у нули. када а → 0

δ функцију је формулисао теоретски физичар Пол Дирак. Дискретна аналогија Диракове функције је Кронекер делта функција, која је обично дефинисана у коначном домену и узима вредности између 0 и 1.

Иако гледано из чисто математичке стране, Диракова делта функција није стриктна функција, односно није функција у правом смислу тих речи. Интеграл било које реалне функције која досеже до бесконачности и има вредност у свим тачкама 0, а само у једној тачки вредност 1 имао би вредност 0, а не 1 што је случај са δ функцијом. Диракова делта функција има смисао једино када се појављује као математички објекат унутар интеграла. Формално се мора дефинисати као дистрибуција или мера. У многим применама, δ функција представља граничну вредност низа функција нормалних дистрибуција са тачком нагомилавања у нули, иако су приближне вредности ових расподела само приближна вредност δ функције.

Дефиниција

уреди

Диракова делта функција је најприближније речено функција на реалној правој чија је вредност свугде нула, осим у координатном почетку. где је њена вредност бесконачна,

 

и дефисана да задовољава идентитет да је њен интеграл у интервалу од   до   једнак 1,

 

δ функција се формално дефинише као дистрибуција или мера.

Сличност са Кронекеровом делта функцијом

уреди

Кронекерова делта функција се за целе бројеве и и ј дефинише као:

 

Тада за све низове   који су бесконачни у оба правца (досежу и до   и до  ), важи:

 

Слично, за било коју реалну или комплексну функцију ƒ непрекидну у Р, Диракова делта функција задовољава особину:

 

Повезаност особина ових двеју функција чини Кронекерову делта функцију дискретном аналогијом Диракове делта функције на скупу  .

Примена

уреди

δ функција у физици представља идеализовани центар масе. Диракова делта дистрибуција се користи у теорији вероватноће за дискретну расподелу. Дискретизована δ функција је кључна за формулисање ортонормалности у квантној механици. Користи се и у теорији конструкција за описивање пролазног оптерећења или тачке оптерећења у структурама.

Види још

уреди

Литература

уреди

Спољашње везе

уреди