Диракова делта функција

Диракова (делта) функција или δ функција се описује као функција у реалној равни, чија је вредност у свим тачкама 0, осим у тачки 0 када износи бесконачно много, дефинисана тако да је њен интеграл по целој области дефинсаности 1.

Диракова делта функција је гранична вредност свих нормалних расподела са максимумом у нули. $\delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{\frac {-x^{2}}{a^{2}}}$ када а → 0

δ функцију је формулисао теоретски физичар Пол Дирак. Дискретна аналогија Диракове функције је Кронекер делта функција, која је обично дефинисана у коначном домену и узима вредности између 0 и 1.

Иако гледано из чисто математичке стране, Диракова делта функција није стриктна функција, односно није функција у правом смислу тих речи. Интеграл било које реалне функције која досеже до бесконачности и има вредност у свим тачкама 0, а само у једној тачки вредност 1 имао би вредност 0, а не 1 што је случај са δ функцијом. Диракова делта функција има смисао једино када се појављује као математички објекат унутар интеграла. Формално се мора дефинисати као дистрибуција или мера. У многим применама, δ функција представља граничну вредност низа функција нормалних дистрибуција са тачком нагомилавања у нули, иако су приближне вредности ових расподела само приближна вредност δ функције.

Дефиниција

Диракова делта функција је најприближније речено функција на реалној правој чија је вредност свугде нула, осим у координатном почетку. где је њена вредност бесконачна,

\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}

и дефисана да задовољава идентитет да је њен интеграл у интервалу од $-\infty$ до $+\infty$ једнак 1,

\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.

δ функција се формално дефинише као дистрибуција или мера.

Сличност са Кронекеровом делта функцијом

Кронекерова делта функција се за целе бројеве и и ј дефинише као:

\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j.\end{cases}}

Тада за све низове $(a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }$ који су бесконачни у оба правца (досежу и до $+\infty$ и до $-\infty$ ), важи:

\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.

Слично, за било коју реалну или комплексну функцију ƒ непрекидну у Р, Диракова делта функција задовољава особину:

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).

Повезаност особина ових двеју функција чини Кронекерову делта функцију дискретном аналогијом Диракове делта функције на скупу $[0,1]$ .

Примена

δ функција у физици представља идеализовани центар масе. Диракова делта дистрибуција се користи у теорији вероватноће за дискретну расподелу. Дискретизована δ функција је кључна за формулисање ортонормалности у квантној механици. Користи се и у теорији конструкција за описивање пролазног оптерећења или тачке оптерећења у структурама.

Види још

Литература

Аратyн, Хенрик; Расинариу, Цонстантин (2006). А схорт цоурсе ин матхематицал метходс wитх Мапле. Wорлд Сциентифиц. ИСБН 981-256-461-6. .
Арфкен, Г. Б.; Wебер, Х. Ј. (2000). Матхематицал Метходс фор Пхyсицистс (5тх изд.). Бостон, МА: Ацадемиц Пресс. ИСБН 978-0-12-059825-0. .
Брацеwелл, Р. (1986), Тхе Фоуриер Трансформ анд Итс Апплицатионс (2нд изд.), МцГраw-Хилл .
Цóрдоба, А., „Ла формуле сомматоире де Поиссон”, C.Р. Ацад. Сци. Парис, Сериес I, 306: 373—376 .
Цоурант, Рицхард; Хилберт, Давид (1962), Метходс оф Матхематицал Пхyсицс, Волуме II, Wилеy-Интерсциенце .
Давис, Хоwард Тед; Тхомсон, Кендалл Т (2000). Линеар алгебра анд линеар операторс ин енгинееринг wитх апплицатионс ин Матхематица. Ацадемиц Пресс. ИСБН 0-12-206349-X.
Диеудоннé, Јеан (1976). Треатисе он аналyсис. Вол. II. Неw Yорк: Ацадемиц Пресс [Харцоурт Браце Јовановицх Публисхерс]. ИСБН 978-0-12-215502-4. МР 0530406. .
Диеудоннé, Јеан (1972), Треатисе он аналyсис. Вол. III, Бостон, МА: Ацадемиц Пресс, МР 0350769
Дирац, Паул (1958). Принциплес оф qуантум мецханицс (4тх изд.). Оxфорд ат тхе Цларендон Пресс. ИСБН 978-0-19-852011-5. .
Дриггерс, Роналд Г. (2003). Енцyцлопедиа оф Оптицал Енгинееринг. ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-0-8247-0940-2. .
Федерер, Херберт (1969). Геометриц меасуре тхеорy. Дие Грундлехрен дер матхематисцхен Wиссенсцхафтен. 153. Неw Yорк: Спрингер-Верлаг. стр. xив+676. ИСБН 978-3-540-60656-7. МР 0257325. .
Гел'фанд, I.M.; Схилов, Г.Е. (1966—1968), Генерализед фунцтионс, 1—5, Ацадемиц Пресс .
Хартман, Wиллиам M. (1997). Сигналс, соунд, анд сенсатион. Спрингер. ИСБН 978-1-56396-283-7. .
Хеwитт, Е; Стромберг, К (1963), Реал анд абстрацт аналyсис, Спрингер-Верлаг .
Хöрмандер, L. (1983). Тхе аналyсис оф линеар партиал дифферентиал операторс I. Грундл. Матх. Wиссенсцхафт. 256. Спрингер. ИСБН 3-540-12104-8. МР 0717035. .
Исхам, C. Ј. (1995). Лецтурес он qуантум тхеорy: матхематицал анд струцтурал фоундатионс. Империал Цоллеге Пресс. ИСБН 978-81-7764-190-5. .
Јохн, Фритз (1955), Плане wавес анд спхерицал меанс апплиед то партиал дифферентиал еqуатионс, Интерсциенце Публисхерс, Неw Yорк-Лондон, МР 0075429 .
Ланг, Серге (1997). Ундерградуате аналyсис. Ундерградуате Теxтс ин Матхематицс (2нд изд.). Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-94841-6. МР 1476913. .
Лаугwитз, D. (1989), „Дефините валуес оф инфините сумс: аспецтс оф тхе фоундатионс оф инфинитесимал аналyсис ароунд 1820”, Арцх. Хист. Еxацт Сци., 39 (3): 195—245, дои:10.1007/БФ00329867 .
Левин, Франк С. (2002). „Цоординате-спаце wаве фунцтионс анд цомплетенесс”. Ан интродуцтион то qуантум тхеорy. Цамбридге Университy Пресс. стр. 109фф. ИСБН 0-521-59841-9.
Ли, Y. Т.; Wонг, Р. (2008), „Интеграл анд сериес репресентатионс оф тхе Дирац делта фунцтион”, Цоммун. Пуре Аппл. Анал., 7 (2): 229—247, МР 2373214, дои:10.3934/цпаа.2008.7.229 .
де ла Мадрид, Р.; Бохм, А.; Гаделла, M. (2002), „Риггед Хилберт Спаце Треатмент оф Цонтинуоус Спецтрум”, Фортсцхр. Пхyс., 50 (2): 185—216, Бибцоде:2002ФорПх..50..185Д, арXив:qуант-пх/0109154  , дои:10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::АИД-ПРОП185>3.0.ЦО;2-С .
МцМахон, D. (2005). „Ан Интродуцтион то Стате Спаце”. Qуантум Мецханицс Демyстифиед, А Селф-Теацхинг Гуиде. Демyстифиед Сериес. Неw Yорк: МцГраw-Хилл. стр. 108. ИСБН 0-07-145546-9. дои:10.1036/0071455469. Архивирано из оригинала 26. 03. 2016. г. Приступљено 17. 3. 2008. .
ван дер Пол, Балтх.; Бреммер, Х. (1987). Оператионал цалцулус (3рд изд.). Неw Yорк: Цхелсеа Публисхинг Цо. ИСБН 978-0-8284-0327-6. МР 904873. .
Рудин, W. (1991). Фунцтионал Аналyсис (2нд изд.). МцГраw-Хилл. ИСБН 0-07-054236-8. .
Соарес, Мануел; Валлéе, Оливиер (2004), Аирy фунцтионс анд апплицатионс то пхyсицс, Лондон: Империал Цоллеге Пресс .
Саицхев, А I; Wоyцзyńски, Wојбор Андрзеј (1997). „Цхаптер1: Басиц дефинитионс анд оператионс”. Дистрибутионс ин тхе Пхyсицал анд Енгинееринг Сциенцес: Дистрибутионал анд фрацтал цалцулус, интеграл трансформс, анд wавелетс. Биркхäусер. ИСБН 0-8176-3924-1.
Сцхwартз, L. (1950), Тхéорие дес дистрибутионс, 1, Херманн .
Сцхwартз, L. (1951), Тхéорие дес дистрибутионс, 2, Херманн .
Стеин, Елиас; Wеисс, Гуидо (1971). Интродуцтион то Фоуриер Аналyсис он Еуцлидеан Спацес. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 0-691-08078-X. .
Стрицхартз, Р. (1994). А Гуиде то Дистрибутион Тхеорy анд Фоуриер Трансформс. ЦРЦ Пресс. ИСБН 0-8493-8273-4. .
Владимиров, V. С. (1971). Еqуатионс оф матхематицал пхyсицс. Марцел Деккер. ИСБН 0-8247-1713-9. .
Yамасхита, Х. (2006), „Поинтwисе аналyсис оф сцалар фиелдс: А нонстандард аппроацх”, Јоурнал оф Матхематицал Пхyсицс, 47 (9): 092301, Бибцоде:2006ЈМП....47и2301Y, дои:10.1063/1.2339017
Yамасхита, Х. (2007), „Цоммент он "Поинтwисе аналyсис оф сцалар фиелдс: А нонстандард аппроацх" [Ј. Матх. Пхyс. 47, 092301 (2006)]”, Јоурнал оф Матхематицал Пхyсицс, 48 (8): 084101, Бибцоде:2007ЈМП....48х4101Y, дои:10.1063/1.2771422

Спољашње везе

Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Делта-фунцтион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.
KhanAcademy.org video lesson
The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.