Феликс Клајн

Феликс Кристијан Клајн (нем. Felix Christian Klein; Диселдорф, Немачка, 25. април 1849Гетинген, Немачка, 22. јун 1925) је био немачки математичар, познат по своме раду на теорији група, теорији функција, нееуклидској геометрији и на повезивању геометрије са теоријом група. Његов „Ерлангенски програм“, покренут 1872. године извршио је класификацију геометрије на основу основних симетрија и представља синтезу од огромног утицаја и на данашњу математику, али и физику.

Феликс Клајн
Фелиx Клеин.јпег
Феликс Клајн
Пуно имеФеликс Кристијан Клајн
Датум рођења25. април 1849.
Место рођењаДиселдорф
Пруско краљевство
Датум смрти22. јун 1925.
Место смртиГетинген
Немачка
ШколаУниверзитет у Бону

ЖивотУреди

Клајнови родитељи били су Пруси, његов отац био је пруски државни чиновник на служби у Рајнленду. Он је похађао гимназију у Диселдорфу, затим студирао математику и физику на Универзитету Бон, 18651866, намеравајући да постане физичар. У то време Јулијус Плакер држао је на Универзитету Бон катедру за математику и експерименталну физику, али у време када Клајн постаје његов асистент, 1866, Плакеров превасходни интерес била је геометрија. Клајн је, под Плакеровим менторством, одбранио свој докторат на универзитету Бон, 1868. године.

Јулијус Плакер умро је 1868, остављајући своју књигу о основама линеарне геометрије недовршеном. Клајн је, очигледно, био најпогоднија особа која би могла да доврши Плакерову Неуе Геометрие дес Раумес, ради чега је упознат са Клебшом (Цлебсцх), који је прешао на Гетинген 1868. Клајн посећује Клебша следеће године, истовремено са посетама Берлину и Паризу. Клајн је био у Паризу јула 1670. када Бизмарк објављује своју поруку са намером да испровоцира Француску да објави рат Пруској. Чим је Француска то и учинила, Клајн хитно напушта Париз. За једно кратко време, он служи у немачкој војсци као болничар, пре него што ће постати доцент на универзитету Гетинген у првој половини 1871. године.

Ерлангенски универзитет поставља Клајна за професора 1872, када је он имао само 23 године. У овоме он је био снажно подржан од Клебша, који је у њему већ видео водећег математичара њиховог времена. Због малог броја студената у Ерлангену, свега неколико, Клајн је имао проблема да заснује своју школу математике на том универзитету, тако да се веома обрадовао понуди да преузме катедру на универзитету у Минхену (Муницх'с Тецхнисцхе Хоцхсцхуле) 1875. Ту су он и Брил држали наставу из напредних курсева многим изврсним студентима као што су Адолф Хурвиц, ван Дајк, Рон, Карл Рунге, Макс Планк, Луиђи Бијанки и Грегорио Ричи.

Године 1875. Клајн се оженио са Аном Хегел (Анне Хегел), унуком чувеног филозофа Георга Фридриха Хегела.

После пет година проведених на Тецхнисцхе Хоцхсцхуле, Клајн се запошљава као шеф катедре за геометрију у Лајпцигу. Тамо су му колеге били, између осталих, ван Дајк, Рон, Стади и Енгел. Године проведене у Лајпцигу, од 1880. до 1886, из основа су промениле његов живот. У 1882. његово здравље је оронуло, а од 1883-1884. био је измучен депресијом.

Његова каријера математичара истраживача била је суштински завршена, када Клајн прихвата катедру на Универзитету Гетинген 1886. Од тада па све до његовог пензионисања 1913, он тежи да од Гетингена поново начини један светски водећи истраживачки центар. Ипак после преласка из Лајпцига у Гетинген, он никада више није повратио своју властиту улогу водећег математичара (геометра) у свету. На Гетингену он подучава мноштво разноликих курсева, углавном оне који су на граници између математике и физике, као што су механика или теорија потенцијала. Истраживачки центар који је Клајн установио на Гетингену служио је касније као модел за све најбоље центре ове врсте у целом свету. Он уводи недељне дискусионе састанке, и ствара математичку читаоницу и библиотеку. 1895. године Клајн запошљава Хилберта (пребацује га из Кенигсберга на Гетинген). Ово постављење показаће се судбоносним, јер Хилберт успева да настави славу Гетингена све до свог сопственог пензионисања 1932. године.

Под Клајновим уредништвом „Математички анали” (Mathematische Annalen) постаће један од најбољих математичких часописа на свету. Мада их је основао Клебш, они ће надмашити свога првог ривала “Крелов часопис” (Crelle's journal), тек под Клајновим вођством. Клајн је поставио мали тим уредника који се редовно састају и доносе одлуке по демократском принципу. Часопис се специјализовао у комплексној анализи и алгебарској геометрији, као и у теорији инваријаната (све док Хилберт није укинуо ову тему). Он је такође отворио један важан нови прилаз реалној анализи и новој теорији група.

Захваљујући делом и Клајновим напорима, Гетинген почиње да прима и жене, 1893. године. Он надгледа прву докторску тезу из математике на Гетингену коју је написала једна жена; била је то енглеска студенткиња Артур Кејли, којој се Клајн дивио.

Негде око 1900, Клајн почиње да се интересује и за наставу математике у школама. У 1905. години, он одиграва одлучујућу улогу у формулацију наставног плана, који препоручује да се основи диференцијалног и интегралног рачуна подучавају и у средњим школама. Ова препорука је постепено увођена у многим земљама широм света. Године 1908, Клајн је изабран за председника Интернационалне комисије за наставу математике на Римском међународном конгресу математичара. Под његовим вођством, Немачки огранак комисије објавио је многобројана издања на тему подучавања математике на свим школским нивоима у Немачкој.

Лондонско математичко друштво наградило је Клајна Де Моргановом медаљом 1893. Он је био изабран за члана енглеског Краљевског друштва 1885, и био награђен њиховом Копли медаљом 1912. Пензионисао се наредне године због свога оронулог здравља, али је наставио да подучава математику код своје куће још неку годину.

Клајнов радУреди

Клајнова дисертација из линеарне геометрије и њене примене на механику класификује линеарне комлексе другог степена користећи Вајерштрасову теорију елементарних делилаца.

Клајново прво значајно математичко откриће учињено је 1870. У сарадњи са Софус Ли, он открива основна својства асимптотских линија у Кумеровом простору. Они покушавају да истраже W-криве, односно криве инваријантне у односу на групу пројективних трансформација. Ли је био тај који упознаје Клајна са концептом група, које играју главну улогу у његовом каснијем раду. Клајн такође учи о групама и од Јордана.

Клајн открива Клајнову боцу, названу по њему, која представља једнострано затворену површину која не може да се конструише у Еуклидском простору. Најлакше ју је замислити као ваљак савијен уназад кроз себе самог тако да се саставља са својим другим крајем. Ово није непрекидна површина у тродимензионалном простору, пошто површина не може да пролази кроз саму себе без дисконтинуитета. Могуће је, међутим, конструисати Клајнову боцу у Нееуклидском простору.

У 1890. години Клајн залази у област математичке физике, тему од које се он никада није много ни удаљавао, пишући о жироскопу заједно са Арнолдом Зомерфелдом. Напоредо с тим, он помаже уређивање (са К. Милером) четири тома механике у Енцyклопедие дер Матхематисцхен Wиссенсцхафтен.

Ерлангенски програмУреди

Године 1871, док је био у Гетингену, Клајн је дошао до свога главног открића у геометрији. Он објављује два рада "О такозваној Нееуклидској геометрији" доказујући да Еуклидска и Нееуклидска геометрија могу да се схвате као специјални случајеви пројективних површина са придруженим специфичним конусним пресецима. Овим он долази до вредне последице да је Нееуклидска геометрија конзистентна и непротивречна само ако и Еуклидска геометрија то јесте, постављајући Еуклидску и Нееуклидску геометрију на исту основу, и тако окончавајући све недоумице око Нееуклидске геометрије. Кејли никада није прихватио Клајнов аргумент, верујући да се ради о доказу типа циркулус вициозус (коришћење у доказивању онога што тек треба доказати)

Клајнова синтеза геометрије, која је произашла из његове студије својстава простора који је инваријантан на дате групе трансформација, позната је као Ерлангенски програм (1872) и дубински је утицала на еволуцију математике. Овај програм заснован је у току Клајнове приступне беседе поводом његовог постављења на Ерлангенском универзитету. На почетку Ерлангенског програма разматрајући случај Еуклидске геометрије Клајн Каже:

"Најосновнији појам неопходан за даље излагање је појам групе просторних трансформација...Постоје такве просторне трансформације које уопште не мењају геометријске особине просторних ликова. Геометријске особине, по самој дефиницији, не зависе од положаја у простору који заузима проучавани лик, од његове апсолутне величине и на крају од оријентације распореда његових делова. Особине просторног лика не мењају се просторним кретањем, пресликавањем (у огледалу) и свим другим трансформацијама које се из њих могу саставити. Скуп свих трансформација називамо главном групом просторних трансформација; геометријске особине не зависе од трансформација из главне групе и, обрнуто, могло би се рећи да се геометријске особине управо и карактеришу њиховом непроменљивошћу (инваријантношћу) у односу на трансформације главне групе."

Као што видимо, дакле, Клајн показује у своме Ерлангенском програму да суштинске особине дате геометрије могу да се представе помоћу група трансформација које очувавају те особине.

"Програм", према томе, предлаже јединствени приступ геометрији који постаје и остаје широко прихваћен до данашњих дана, а осим тога, "програмске" дефиниције обухватају заједно и Еуклидску и Нееуклидску геометрију.

Такође, важно је напоменути да се у оквиру Клајнове школе "Програм" проширује и на законе физике. Најпре Хамел (Георг Хамел) успоставља везу између закона одржања физичких величина и основних симетрија простора и времена. Међутим овај рад остаће дуго потпуно непознат физичарима. Али, једна од најкреативнијих математичарки свих времена, Еми Нетер (Еммy Ноетхер), 14 година касније доказаће да свакој непрекидној трансформацији координата, за коју је варијација дејства једнака нули, одговара одређени инваријант, односно одређени закон одржања динамичких, физичких, величина.

Након што Поенкаре 1905. уводи групу Лоренцових трансформација, веза између инваријаната и симетрија простора и времена постаје од изузетног значаја и за Ајнштајнову теорију релативности, до чије појаве долази исте године.Иначе, за Ајнштајна је инваријантност основни и неопходни услов ваљаности неке физичке теорије. Такође, веза између закона одржања физичких величина и симетрија простора и времена добиће на значају током настанка и развоја атомске-квантне физике, када долази до појаве нових закона одржања, који раније нису били предвиђени Класичном механиком.

Данас је значај Клајнових доприноса геометрији мање видљив, али не зато што је тај допринос сада виђен као стран или нетачан. Напротив, овај допринос је постао толико много део нашег постојећег математичког знања да је тешко данас процењивати његову оригиналност,као и начин на који он није одмах био прихваћен од свих његових савременика.

Теорија функцијаУреди

Клајн је показао да је модуларна група померила фундаментални регион комплексне површи као да прави мозаик од те површи. У 1879. он трага за акцијом ПСЛ(2,7), мислећи о њој као о слици модуларне групе, и намећући експлицитну репрезентацију Риманове површи. Он показује да је површина крива у пројективном простору, и да је њена једначина x3y + y3з + з3x = 0, а да њена групна симетрија ПСЛ(2,7) реда 168. Његова "Римановска теорија алгебарских функција и њихових интеграла (Риеманнс Тхеорие дер алгебраисцхен Функтионен унд ихре Интегралс) (1882) третира теорију функција у геометријском маниру, повезујући теорију потенцијала и конформалне трансформације (пројекције). Ова теорија извлачи неке назнаке из динамике флуида.

Клајн разматра једначине степена већег од 4, и посебно се интересује за коришћење трансцедентних метода за решавање општих једначина четвртог степена. Ослањајући се на методе Хермитеа и Кронекера, он производи сличне резултате до којих је дошао и Бриоши и покушава да потпуно реши овај проблем у смислу икосахедралних група. Овај рад наводи га да напише серију чланака о елиптичким модуларним функцијама.

У својој књизи о икосахедрону (1884), Клајн поставља теорију о аутоморфичним функцијама, повезујући алгебру и геометрију. Међутим и Анри Поенкаре објављује један извод из своје теорије аутоморфичних функција 1887, што доводи до пријатељског ривалства између ова два научника. Обојица теже да успоставе и докажу велику уједињујућу теорему која би служила као завршни камен дотадашњег развоја теорије. Клајн успева у формулисању овакве једне теореме и скицира стратегију за њено доказивање. Али док је радио на томе његов здравље је нагло ослабило, као што је поменуто у претходном тексту.

Клајн сумира свој рад на аутоморфичним функцијама и елиптичким модуларним функцијама у једној расправи у три тома, написаној заједно са Робертом Фриком у периоду од неких 20 година.

БиблиографијаУреди

  • 1887. "The arithmetizing of mathematics" in Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press: 965-71.
  • Mumford, David, Carol Series, David Wright, 2002. Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. Cambridge University Press.

Спољашње везеУреди