Фундаментална теорема рачуна

Фундаментална теорема рачуна је теорема која повезује концепт диференцирања функције са концептом интегрирања функција.

Први део теореме, који се понекад назива првом фундаменталном теоремом рачуна, наводи да се један од антидеривата (који се такође назива неодређени интеграл), и.е. F, неке функције f може добити као интеграл од f са променљивом границом интеграције. То подразумева постојање антидеривата за континуиране функције.

Насупротно томе, други део теореме, који се понекад назива и другом фундаменталном теоремом рачуна, наводи да се интеграл функције f на неком интервалу може израчунати коришћењем било којег, и.е. F, од бесконачно великог броја антидеривата. Овај део теореме има кључне практичне примене, јер се експлицитним проналажењем антидериватива функције симболичком интеграцијом избегава нумеричка интеграција за рачунање интеграла. То генерално даје бољу нумеричку тачност.

Историја

Такође погледајте: Историја рачуна

Фундаментална теорема рачуна повезује диференцијацију и интеграцију, показујући да су ове две операције у суштини инверзне једна другој. Пре открића ове теореме није било познато да су ове две операције повезане. Древни грчки математичари знали су како да израчунају површину помоћу инфинитезимала, операције која би се сада називала интеграцијом. Порекло диференцијације такође је претходило фундаменталној теореми рачуна стотинама година; на пример, у четрнаестом веку, Оксфордски калкулатори и други учењаци проучавали су концепте континуитета функција и кретања. Историјска релевантност фундаменталне теореме рачуна није способност израчунавања ових операција, већ спознаја да су две наизглед различите операције (израчунавање геометријских подручја и израчунавање брзина) у ствари уско повезане.

Прву објављену изјаву и доказ рудиментарног облика фундаменталне теореме, снажно геометријског карактера, дао је Џејмс Грегори (1638–1675). Ајзак Бароу (1630–1677) доказао је општију верзију теореме, док је његов ученик Исак Њутн (1642–1727) довршио развој околне математичке теорије. Готфрид Лајбниц (1646–1716) систематизовао је знање у прорачун за бесконачно мале количине и увео нотацију која се данас користи.

Геометријско значење

Област засенчене црвено је близо h пута f(x). Алтернативно, кад би функције А(x) биле познате, оба површина би била А(x + х) − А(x). Ове две вредности су приближно једнаке, посебно за мало h.

За континуирану функцију y = ф(x) чији је граф приказан као крива, свака вредност x има одговарајућу површинску функцију А(x), која представља подручје испод криве између 0 и x. Функција А(x) можда није позната, али је познато да представља подручје испод криве.

Подручје испод криве између x и x + х може се израчунати проналажењем подручја између 0 и x + х, и затим одузимањем подручја између 0 и x. Другим речима, површина ове „траке” била би А(x + х) − А(x).

Постоји још један начин да се процени површина исте траке. Као што је приказано на приложеној слици, h се множи са f(x) да би се пронашло подручје правоугаоника које је приближно исте величине као и ова трака. Тако да је:

$A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h$

Заправо, ова процена постаје савршена једнакост ако се дода црвени део подручја „вишка” приказаног на дијаграму. Тако да је:

$A(x+h)-A(x)=f(x)\cdot h+({\text{crveni višak}})$

Усклађујући чланове добија се:

$f(x)={\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}-{\frac {\text{crveni višak}}{h}}$.

Како се h приближава 0 у лимиту, може се показати да последња фракција иде у нулу. То је тачно јер је површина црвеног дела подручја вишка мања или једнака од површине малог црно-обрубљеног правоугаоника. Прецизније,

$\left|f(x)-{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\right|={\frac {|{\text{crveni višak}}|}{h}}\leq {\frac {h(f(x+h_{1})-f(x+h_{2}))}{h}}=f(x+h_{1})-f(x+h_{2}),$

где су $x+h_{1}$ и $x+h_{2}$ тачке где ф досеже свој максимум и свој минимум, респективно, на интервалу [x, x + х]. Услед континуитета ф, каснији израз тежи нули кад х то чини. Стога се лева страна тежи нули као и х, из чега следи

$f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}.$

Ово подразумева ф(x) = А′(x). Односно, дериват подручја функције A(x) постоји и изворна је функција f(x); те је функција подручја једноставно антидериват оригиналне функције. Рачунање деривата функције и „проналажење подручја” испод њене криве су „супротне” операције. То је срж фундаменталне теореме рачуна.

Физичка интуиција

Интуитивно, основна теорема каже да су интеграција и диференцијација у суштини инверзне операције које преокрећу једна другу.

Друга фундаментална теорема наводи да се збир инфинитезималано малих промена у количини током времена (интеграл извода количине) додаје до нето промене количине. Да би се ово визуализовало, може се замислити да се путује аутомобилом и да се жели да се зна пређену удаљеност (нето промена положаја дуж пута). Може се видити брзина на брзиномеру, али се не може видети локација. Сваке секунде се може пронаћи колико је далеко аутомобил прешао користећи растојање = брзина × време, множећи тренутну брзину (у километрима или миљама на сат) са временским интервалом (1 секунда = ${\tfrac {1}{3600}}$ сата). Сумирајући све ове мале кораке, може се израчунати укупна пређена удаљеност, а да се никада не погледа ван аутомобила:

$${\text{pređeno rastojanje}}=\sum \left({\begin{array}{c}{\text{brzina u}}\\{\text{datom vremenu}}\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}{\text{vremenski}}\\{\text{interval}}\end{array}}\right)=\sum v(t)\times \Delta t.$$

Како $\Delta t$ постаје инфинитезималано мало, сумирање одговара интеграцији. Дакле, интеграл функције брзине (извод положаја) израчунава колико је аутомобил прешао (нето промена положаја).

Прва основна теорема наводи да је свака количина стопа промене (деривације) интеграла величине од фиксног времена до променљивог времена. Настављајући горњи пример, ако се замисли функција брзине, она се може интегрисати од времена почетка до било ког датог времена да би се добила функцију удаљености чији је извод дата брзина. (Да би се добила позицију маркера аутопута, овом интегралу се мора додати почетна позиција.)

Формалне изјаве

Постоје два дела теореме. Први део се бави изводом антидеривата, док се други бави односом антидеривата и одређених интеграла.

Први део

Овај део се понекад помиње као прва фундаментална теорема рачуна.

Нека је ф непрекидна функција реалне вредности дефинисана на затвореном интервалу [а, б]. Нека је Ф функција дефинисана за свако x у [а, б], са

$$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.$$

Тада је Ф униформно непрекидна на [а, б] и диференцибилна на отвореном интервалу (а, б), и

$$F'(x)=f(x)$$

за свако x у (а, б) тако да је Ф антидериват од ф.

Закључак

Основна теорема рачуна (анимација)

Основна теорема се често користи за израчунавање одређеног интеграла функције $f$ за коју је познат антидериват $F$. Конкретно, ако је $f$ непрекидна функција реалне вредности на $[a,b]$ и $F$ је антидериват од $f$ у $[a,b]$ онда је

$$\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).$$

Закључак претпоставља континуитет на целом интервалу. Овај резултат је мало појачан у следећем делу теореме.

Други део

Овај део се понекад назива друга фундаментална теорема рачуна или Њутн-Лајбницова теорема.

Нека је $f$ функција реалне вредности на затвореном интервалу $[a,b]$ и $F$ непрекидна функција на $[a,b]$ која је антидериват од $f$ на $(a,b)$:

$$F'(x)=f(x).$$

Ако је $f$ интеграбилна по Риману на $[a,b]$ онда је

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Други део је нешто јачи од закључка, јер не претпоставља да је $f$ непрекидна.

Када постоји антидериват $F$ од $f$, онда постоји бесконачно много антидеривата за $f$, добијених додавањем произвољне константе на $F$. Такође, према првом делу теореме, антидеривати за $f$ увек постоје када је $f$ непрекидна.

Доказ првог дела

За дату функцију ф, дефинише се функција Ф(x) као

$$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.$$

За било која два броја x₁ и x₁ + Δx у [а, б], постоји

$${\begin{aligned}F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})&=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt\\&=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt,\end{aligned}}$$

потоња једнакост произилази из основних својстава интеграла и адитивности површина.

Према теореми средње вредности за интеграцију, постоји реалан број $c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]$ такав да је

$$\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\cdot \Delta x.$$

Следи да је

$$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\cdot \Delta x,$$

и стога да је

$${\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).$$

Узимајући границу као $\Delta x\to 0,$ а имајући у виду да је $c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x],$ добија се

$$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c),$$

што је,

$$F'(x_{1})=f(x_{1}),$$

према дефиницији извода, континуитету ф и теореми сажимања.

Литература

• Апостол, Том M. (1967), Цалцулус, Вол. 1: Оне-Вариабле Цалцулус wитх ан Интродуцтион то Линеар Алгебра (2нд изд.), Неw Yорк: Јохн Wилеy & Сонс, ИСБН 978-0-471-00005-1 .
• Бартле, Роберт (2001), А Модерн Тхеорy оф Интегратион, АМС, ИСБН 0-8218-0845-1 .
• Леитхолд, L. (1996), Тхе цалцулус оф а сингле вариабле (6тх изд.), Неw Yорк: ХарперЦоллинс Цоллеге Публисхерс .
• Рудин, Wалтер (1987), Реал анд Цомплеx Аналyсис (тхирд изд.), Неw Yорк: МцГраw-Хилл Боок Цо., ИСБН 0-07-054234-1 
• Цоурант, Рицхард; Јохн, Фритз (1965), Интродуцтион то Цалцулус анд Аналyсис, Спрингер .
• Ларсон, Рон; Едwардс, Бруце Х.; Хеyд, Давид Е. (2002), Цалцулус оф а сингле вариабле (7тх изд.), Бостон: Хоугхтон Миффлин Цомпанy, ИСБН 978-0-618-14916-2 .
• Малет, А., Студиес он Јамес Грегорие (1638-1675) (ПхД Тхесис, Принцетон, 1989).
• Хернандез Родригуез, О. А.; Лопез Фернандез, Ј. M. . "Теацхинг тхе Фундаментал Тхеорем оф Цалцулус: А Хисторицал Рефлецтион", Лоци: Цонвергенце (МАА), Јануарy 2012.
• Стеwарт, Ј. (2003), „Фундаментал Тхеорем оф Цалцулус”, Цалцулус: еарлy трансценденталс, Белмонт, Цалифорниа: Тхомсон/Броокс/Цоле .
• Турнбулл, Х. W., ур. (1939), Тхе Јамес Грегорy Терцентенарy Мемориал Волуме, Лондон .
• Боурбаки, Н. (1974), Алгебра, Херманн, Парис; Аддисон-Wеслеy Публисхинг Цо., Реадинг Масс. 
• Исаацс, I. Мартин (1994), Алгебра: А Градуате Цоурсе, Броокс/Цоле, ИСБН 978-0-534-19002-6 
• Касхиwара, Масаки; Сцхапира, Пиерре (2006), Цатегориес анд схеавес 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Фундаментал тхеорем оф цалцулус”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• James Gregory's Euclidean Proof of the Fundamental Theorem of Calculus at Convergence
• Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus
• Fundamental Theorem of Calculus at imomath.com
• Alternative proof of the fundamental theorem of calculus
• Fundamental Theorem of Calculus MIT.
• Fundamental Theorem of Calculus Mathworld.