Клајнов модел

У геометрији, Клајнов модел, такође назван пројективни модел, Белтрами-Клајнов модел, Клајнов-Белтрами модел као и Кејли-Клајнов модел, је модел н-димензионалне хиперболичке геометрије (нееуклидске геометрије Лобачевског) у којем су нееуклидске тачке распоређене на једном н-димензионалном диску, или боље речено лопти, а нееуклидске праве су делови правих линија садржаних на овом "диску", што значи да се крајеви ових правих завршавају на ивици диска. Заједно са Поенкареовим полураванским моделом и Поенкареовим диск моделом, овај модел је био предложен и од стране Еугениа Белтрамија који га је искористио да докаже како је хиперболичка геометрија еквиконзистентна са Еуклидовом геометријом.

Када се представи у једној равни, Клајнов модел постаје донекле једноставнији и очигледнији, јер тада н-димензионални диск, као нееуклидска површ из овог модела, постаје у ствари површина круга у једној равни. Нееуклидске тачке су тада све тачке круга осим оних које се налазе на кружници која га ограничава као граница нееуклидске равни, а нееуклидске праве су праве линије нацртане на овом кругу. Дакле, у овом моделу постаје очигледним пети постулат нееуклидске геометрије Лобачевског (елиптичке геометрије) који, у једној од варијанти, гласи да: "Кроз тачку А, која не лежи на правој л, пролази бесконачно много правих које не секу дату праву." Наиме, праве које пролазе кроз кроз тачку л могу се сећи са правом на граничној кружници нееуклидске површи или изван ове кружнице, али тачке њиховог пресека тада не припадају Клајновој нееуклидској површи, односно кругу који се налази унутар ове кружнице, што значи да се оне практично и не секу са правом л. При томе, праве које се секу са правом л само на граничној кружници нееуклидске равни представљају тзв. леву и десну граничну праву из овог бесконачног скупа правих и оне се могу сматрати паралелним са правом л.