Комутативни дијаграм

У математици, и посебно у теорији категорија, комутативни дијаграм је такав дијаграм да сви усмерени путеви у дијаграму са истим почетним и крајњим тачкама воде до истог резултата.[1] Комутативни дијаграми играју улогу у теорији категорија еквивалентну улози једначина у алгебри.[2]

Комутативни дијаграм који се користи у доказу пет лема.

Опис

уреди

Комутативни дијаграм је обично састоји од три дела:

  • објекти (такође познати као темена)
  • морфизми (такође познати као стрелице или ивице)
  • путеви или композити

Симболи стрелица

уреди

У алгебарским текстовима, тип морфизма може да буде обележен употребом различитих стрелица:

  • Мономорфизам (ињективни хомоморфизам) може да буде обележен са  .[3]
  • Епиморфизам (сурјективни хомоморфизам) може да буде обележен са  .
  • Изоморфизам (бијективни хомоморфизам) може да буде обележен са  .
  • Испрекидана стрелица типично представља тврдњу да означени морфизам постоји (шта год да остатак дијаграма садржи); стрелица може опционо да буде обележена као  .
    • Ако је морфизам адиционо јединствен, онда испрекидана линија може да буде обележена са   или  .

Ове конвенције су обично довољне, тако да текст углавном не објашњава значење различитих типова стрелица.

Провера комутативности

уреди

Коммутативност има смисла за полигон било ког коначног броја страна (укључујући само 1 или 2), а дијаграм је комутативан ако је сваки полигонални потдијаграм комутативан. Треба имати на уму да дијаграм може бити некомутативан, тј. састав различитих путања у дијаграму можда неће дати исти резултат.

Примери

уреди

У левом дијаграму, који изражава прву теорему изоморфизма, комутативност троугла значи да је  . У десном дијаграму комутативност квадрата значи  .

   

Да би дијаграм испод био комутативан, морају бити задовољене три једнакости:

  1.  
  2.  
  3.  

Овде, пошто прва једнакост следи из задње две, довољно је показати да су (2) и (3) истините да би дијаграм био комутативан. Међутим, пошто једнакост (3) генерално не произилази из друге две, у општем случају није довољно имати само једнакости (1) и (2) да би се показало да је дијаграм комутативан.

 

Праћење дијаграма

уреди

Праћење дијаграма (која се такође назива дијаграмском претрагом) је метода математичког доказа која се нарочито користи у хомолошкој алгебри, где се успоставља својство неког морфизма проналазећи елементе комутативног дијаграма.[4] Доказ помоћу дијаграма обично укључује формалну употребу својстава дијаграма, као што су ињективне или сурјективне мапе, или тачне секвенце.[5] Конструише се силогизам за који је графички приказ дијаграма само визуелно помагало. Из тога следи да се врши „претрага” елемената на дијаграму, све док се не конструише или потврди жељени елемент или резултат.

Примери доказа помоћу дијаграмског праћења укључују оне који се обично дају за пет лема, змијску лему, зиг-заг лему, и девет лема.

У вишој теорији категорија

уреди

У вишој теорији категорија, не разматрају се само објекти и стрелице, већ стрелице између стрелица, стрелице између стрелица које су између стрелица, и тако даље ad infinitum. На пример, категорија малих категорија Мачка је природно 2-категорија, са функорима као њеним стрелицама, и природним трансформацијама као стрелицама између функтора. У том окружењу, комутативни дијаграми могу такође да садрже и ове више стрелице, које су често приказују у следећем стилу:  . На пример, следећи (помало тривијални) дијаграм приказује две категорије C и D, заједно са два функтора Ф, Г : CD и природном трансформацијом α : ФГ:

 

Постоје две врсте композиција у 2-категорији (које се називају вертикална композиција и хоризонтална композиција), а могу се приказати и помоћу дијаграма спајања (пгледајте на пример дефиницију 2-категорије).

Дијаграми као функтори

уреди

Комутативни дијаграм у категорији C може се тумачити као функтор из индексне категорије J до C; овај функтор се назива дијаграм.

Формалније, комутативни дијаграм је визуализација дијаграма индексираног по парцијално уређеној категорији. Такав дијаграм обично укључује:

  • чвор за сваки објект из индексне категорије,
  • стрелицу за генерисање скупа морфизама (изостављајући мапе идентитета и морфизме који се могу изразити као композиције),
  • комутативност дијаграма (једнакост различитих композиција мапа између два објекта), што одговара јединствености мапе између два објекта у парцијално уређеној категорији.

Насупрот томе, дати комутативни дијаграм дефинише парцијално уређену категорију, где су:

  • објекти чворови,
  • постоји морфизам између било која два објекта ако и само ако постоји (усмерени) пут између чворова,
  • са односом да је овај морфизам јединствен (било који састав мапа је дефинисан његовом доменом и циљем: ово је аксиом комутативности).

Међутим, није сваки дијаграм комутативан (појам дијаграма строго генерализује комутативни дијаграм). Једноставан пример је дијаграм једног објекта са ендоморфизмом ( ), или са две паралелне стрелице ( , то јест,  , што се понекад назива и слободно треперење), као што се користи у дефиницији еквилајзера, не мора да буде комутативан. Даље, дијаграми могу бити збркани или се може десити да их је немогуће нацртати, када је број објеката или морфизама велик (или чак бесконачан).

Види још

уреди

Референце

уреди
  1. ^ Wеисстеин, Ериц W. „Цоммутативе Диаграм”. матхwорлд.wолфрам.цом (на језику: енглески). Приступљено 25. 11. 2019. 
  2. ^ Барр & Wеллс (2002, Сецтион 1.7))
  3. ^ „Матхс - Цатегорy Тхеорy - Арроw - Мартин Бакер”. www.еуцлидеанспаце.цом. Приступљено 25. 11. 2019. 
  4. ^ „Тхе Дефинитиве Глоссарy оф Хигхер Матхематицал Јаргон — Цхасинг”. Матх Ваулт (на језику: енглески). 1. 8. 2019. Приступљено 25. 11. 2019. 
  5. ^ Wеисстеин, Ериц W. „Диаграм Цхасинг”. матхwорлд.wолфрам.цом (на језику: енглески). Приступљено 25. 11. 2019. 

Литература

уреди

Спољашње везе

уреди