Општа топологија

У математици, општа топологија је грана топологије која се бави основним дефиницијама и конструкцијама теорије скупова које се користе у топологији. Оно је основа за већину других грана топологије, укључујући диференцијалну топологију, геометријску топологију и алгебарску топологију. Други назив за општу топологију је топологија скупа тачака.

Топологова синусна крива је користан пример топологије скупа тачака. Она је повезана, али није путом повезан.

Фундаментални концепти у општој топологији су континуитет, компактност, и повезаност:

• Непрекидне функције, интуитивно, пренесе оближње тачке до оближњих тачака
• Компактни скупови су они који могу да буду покривени са коначно много скупова произвољно мале величине.
• Повезани скупви су скупови који се не могу поделити у два дела која су далеко један од другог.

Речи 'оближњи', 'произвољно мали', и 'далеко раздвојени' се могу учинити прецизним користећи концепт отворених скупова. Ако се промени дефиниција 'отвореног скупа', мења се оно што су непрекидне функције, компактни скупови, и повезани скупови. Сваки избор дефиниције за 'отворени скуп' се назива топологија. Скуп са топологијом се назива тополошки простор.

Метрички простори су важна класа тополошких простора где реална, ненегативна растојања, која се такоше називају метрици, могу да буду дефинисана на паровима тачака у скупу. Постојање метрика поједностављује многе доказе, а многи најчешћих тополошких простора су метрички простори.

Историја

Општа топологија је произашла из бројних области, најважније од којих су:

• детаљно проучавање подскупова реалне линије (која је некада била позната као топологија скупова тачака; ова употреба је сада застарела)
• увођење концепта многострукости
• проучавање метричких простора, посебно нормираних линеарних простора, у првим данима функционалне анализе.

Општа топологија је свој данашњи облик попримила око 1940. године. Она обухвата, могло би се рећи, готово све унутар интуиције континуитета, у технички адекватном облику који се може применити у било којој области математике.

Топологија на скупу

Главни чланак: Тополошки простор

Нека је X скуп и нека је τ фамилија подскупова од X. Онда се τ назива топологијом на X ако:

1. Празан скуп и X су елементи из τ
2. Свака унија елемената из τ је елемент из τ
3. Сваки пресек коначно много елемената из τ је елемент из τ

Ако је τ топологија на X, онда се пар (X, τ) назива тополошким простором. Нотација X_τ се може користити за означавање скупа X на коме је применљива одређена топологија τ.

Чланови τ се називају отвореним скуповима у X. За подскуп од X се каже да је затворен, ако је његов комплемент у τ (и.е., његов комплемент је отворен). Подскуп од X може да буде отворен, затворен, оба (затворено-отворен скуп), или ни једно. Празан скуп и само X су увек отворени и затворени.

Базе топологије

Главни чланак: База (топологија)

База B за тополошки простор X са топологијом T је колекција отворених скупова у T таквих да сваки отворени скуп у Т може да буде написан као унија елемената од B. Каже се да база генерише топологију T. Базе су корисне јер се многа својства топологија могу редуковати до изјава о базама које генеришу ту топологију — и зато што се многе топологије најлакше дефинишу у погледу база која их генерише.

Литература

• Јохн L. Келлеy (1955) Генерал Топологy, линк фром Интернет Арцхиве, оригиналлy публисхед бy Давид Ван Ностранд Цомпанy.
• Георге Ф. Симмонс, Интродуцтион то Топологy анд Модерн Аналyсис, ISBN 1-575-24238-9.
• Паул L. Схицк, Топологy: Поинт-Сет анд Геометриц, ISBN 0-470-09605-5.
• Стеен, Лyнн Артхур; Сеебацх, Ј. Артхур Јр. (1995) [1978], Цоунтереxамплес ин Топологy (Довер репринт оф 1978 изд.), Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-486-68735-3, МР 507446 
• О.Yа. Виро, О.А. Иванов, V.M. Кхарламов анд Н.Yу. Нетсветаев, Елементарy Топологy: Теxтбоок ин Проблемс, ISBN 978-0-8218-4506-6.
• „Topological Shapes and their Significance”. arXiv:abs/1905.13481  .  by K.A.Rousan arvXiv id- 1905.13481
• Armstrong, M. A. (1983) [1979]. Basic Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-90839-0. 
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966). ISBN 0-387-19374-X
• Броwн, Роналд, Топологy анд Гроупоидс, Бооксурге (2006) ISBN 1-4196-2722-8 (3рд едитион оф дифферентлy титлед боокс)
• Чецх, Едуард; Поинт Сетс, Ацадемиц Пресс (1969).
• Фултон, Wиллиам, Алгебраиц Топологy, (Градуате Теxтс ин Матхематицс), Спрингер; 1ст едитион (Септембер 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Галлиер, Јеан; Xу, Дианна (2013). А Гуиде то тхе Цлассифицатион Тхеорем фор Цомпацт Сурфацес. Спрингер. 
• Гаусс, Царл Фриедрицх; Генерал инвестигатионс оф цурвед сурфацес, 1827.
• Липсцхутз, Сеyмоур; Сцхаум'с Оутлине оф Генерал Топологy, МцГраw-Хилл; 1ст едитион (Јуне 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• Мункрес, Јамес; Топологy, Прентице Халл; 2нд едитион (Децембер 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
• Рунде, Волкер; А Тасте оф Топологy (Университеxт), Спрингер; 1ст едитион (Јулy 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
• Schubert, Horst (1968), Topology, Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0 
• Vaidyanathaswamy, R. (1960). Set Topology. Chelsea Publishing Co. ISBN 0486404560. 
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 
• Arkhangel’skij, A.V.; Ponomarev, V.I. (1984). Fundamentals of general topology: problems and exercises. Mathematics and Its Applications. 13. Translated from the Russian by V. K. Jain. Dordrecht: D. Reidel Publishing. Zbl 0568.54001. 
• Engelking, Ryszard (1977). General Topology. Monografie Matematyczne. 60. Warsaw: PWN. Zbl 0373.54002. 
• Kenneth Kunen; Jerry E. Vaughan, ур. (1984). Handbook of Set-Theoretic Topology. North-Holland. ISBN 0-444-86580-2. 
• Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3840-5. 
• Hirsch, Morris (1997). Differential Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90148-0. 
• Lashof, Richard (децембар 1972). „The Tangent Bundle of a Topological Manifold”. American Mathematical Monthly. 79 (10): 1090—1096. JSTOR 2317423. doi:10.2307/2317423. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Kervaire, Michel A. (децембар 1960). „A manifold which does not admit any differentiable structure”. Commentarii Mathematici Helvetici. 34 (1): 257—270. doi:10.1007/BF02565940. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Brown, Morton (1960), A proof of the generalized Schoenflies theorem. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 66, pp. 74–76. MR0117695
• Mazur, Barry, On embeddings of spheres., Bull. Amer. Math. Soc. 65 1959 59–65. MR0117693
• R. B. Sher and R. J. Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology, North-Holland. ISBN 0-444-82432-4.
• Аллегретти, Дyлан Г. L. (2008), Симплициал Сетс анд ван Кампен'с Тхеорем  (Дисцуссес генерализед версионс оф ван Кампен'с тхеорем апплиед то топологицал спацес анд симплициал сетс).
• Бредон, Глен Е. (1993), Топологy анд Геометрy, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 139, Спрингер, ИСБН 0-387-97926-3 .
• Броwн, Р. (2007), Хигхер дименсионал гроуп тхеорy, Архивирано из оригинала 14. 05. 2016. г., Приступљено 26. 06. 2023  (Гивес а броад виеw оф хигхер-дименсионал ван Кампен тхеоремс инволвинг мултипле гроупоидс).
• Броwн, Р.; Разак, А. (1984), „А ван Кампен тхеорем фор унионс оф нон-цоннецтед спацес”, Арцх. Матх., 42: 85—88, С2ЦИД 122228464, дои:10.1007/БФ01198133 . "Гивес а генерал тхеорем он тхе фундаментал гроупоид wитх а сет оф басе поинтс оф а спаце wхицх ис тхе унион оф опен сетс."
• Броwн, Р.; Хардие, К.; Кампс, Х.; Портер, Т. (2002), „Тхе хомотопy доубле гроупоид оф а Хаусдорфф спаце”, Тхеорy Аппл. Цатегориес, 10 (2): 71—93 .
• Броwн, Р.; Хиггинс, П.Ј. (1978), „Он тхе цоннецтион бетwеен тхе сецонд релативе хомотопy гроупс оф соме релатед спацес”, Проц. Лондон Матх. Соц., С3-36 (2): 193—212, дои:10.1112/плмс/с3-36.2.193 . "Тхе фирст 2-дименсионал версион оф ван Кампен'с тхеорем."
• Броwн, Роналд; Хиггинс, Пхилип Ј.; Сивера, Рафаел (2011), Нонабелиан Алгебраиц Топологy: Филтеред Спацес, Цроссед Цомплеxес, Цубицал Хомотопy Гроупоидс, Еуропеан Матхематицал Социетy Трацтс ин Матхематицс, 15, Еуропеан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-3-03719-083-8, арXив:матх/0407275 , Архивирано из оригинала 2009-06-04. г.  Тхис провидес а хомотопy тхеоретиц аппроацх то басиц алгебраиц топологy, wитхоут неединг а басис ин сингулар хомологy, ор тхе метход оф симплициал аппроxиматион. Ит цонтаинс а лот оф материал он цроссед модулес.
• Фралеигх, Јохн Б. (1976), А Фирст Цоурсе Ин Абстрацт Алгебра (2нд изд.), Реадинг: Аддисон-Wеслеy, ИСБН 0-201-01984-1 
• Греенберг, Марвин Ј.; Харпер, Јохн Р. (1981), Алгебраиц Топологy: А Фирст Цоурсе, Ревисед едитион, Матхематицс Лецтуре Ноте Сериес, Wествиеw/Персеус, ИСБН 9780805335576 . А фунцториал, алгебраиц аппроацх оригиналлy бy Греенберг wитх геометриц флаворинг аддед бy Харпер.
• Хатцхер, Аллен (2002), Алгебраиц Топологy, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 0-521-79540-0 . А модерн, геометрицаллy флавоуред интродуцтион то алгебраиц топологy.
• Хиггинс, Пхилип Ј. (1971), Нотес он цатегориес анд гроупоидс, Ван Ностранд Реинхолд, ИСБН 9780442034061 
• Маундер, C. Р. Ф. (1970), Алгебраиц Топологy, Лондон: Ван Ностранд Реинхолд, ИСБН 0-486-69131-4 .
• том Диецк, Таммо (2008), Алгебраиц Топологy, ЕМС Теxтбоокс ин Матхематицс, Еуропеан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-3-03719-048-7 
• ван Кампен, Егберт (1933), „Он тхе цоннецтион бетwеен тхе фундаментал гроупс оф соме релатед спацес”, Америцан Јоурнал оф Матхематицс, 55 (1): 261—7, ЈСТОР 51000091 
• Хатцхер, Аллен (2002). Алгебраиц топологy. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 0-521-79160-X.  анд ISBN 0-521-79540-0.
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Алгебраиц топологy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Маy, Ј. Петер (1999). А Цонцисе Цоурсе ин Алгебраиц Топологy (ПДФ). Университy оф Цхицаго Пресс. Архивирано (ПДФ) из оригинала 2022-10-09. г. Приступљено 2008-09-27. 

Спољашње везе

• Тхе арXив субјецт цоде ис „матх.ГН”. арXив:лист/матх.ГН/рецент  . .