Паретова расподела

Паретова расподела је именована по италијанском грађевинском инжењеру, економисти, и социологу Вилфреду Парету. Она је расподела вероватноће степеног закона која се користи за описивање друштвених, научних, геофизичких, актуарских, и многих других типова уочљивих појава. Првобитно примењена на описивање расподеле богатства у друштву, она описује тренд да велики део богатства поседује мали део становништва. Паретова дистрибуција је колоквијално постала позната и назива се Паретов принцип, или „80-20 правило”, а понекад се назива и „Матејев принцип”. Ово правило постулира да, на пример, 80% богатства друштва држи 20% његовог становништва. Међутим, не треба поистовећивати Паретову дистрибуцију и Паретов принцип, јер дистрибуција даје овај резултат само за одређену вредност степена, $\alpha$ (α = лог₄5 ≈ 1.16). Иако је $\alpha$ варијабилно, емпиријским опажањима је установљено да 80-20 дистрибуција одговара широком распону случајева, укључујући природне појаве и људске активности.

Парето тип I

Функција густине вероватноће Паретове функције густине вероватноче типа I за разне вредности $\alpha$ са $x_{\mathrm {m} }=1.$ Кад $\alpha \rightarrow \infty ,$ дистрибуција прилази $\delta (x-x_{\mathrm {m} }),$ где је $\delta$ Диракова делта функција.
Функција кумулативне расподеле Паретове функције густине вероватноче типа I за разне вредности $\alpha$ са $x_{\mathrm {m} }=1.$
Параметри	$x_{\mathrm {m} }>0$ скала (реално) $\alpha >0$ облик (реално)
Носитељ	$x\in [x_{\mathrm {m} },\infty )$
ПДФ	${\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}$
ЦДФ	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }$
Просек	${\begin{cases}\infty &{\text{za }}\alpha \leq 1\\{\dfrac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{za }}\alpha >1\end{cases}}$
Медијана	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}$
Модус	$x_{\mathrm {m} }$
Варијанса	${\begin{cases}\infty &{\text{za }}\alpha \leq 2\\{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{za }}\alpha >2\end{cases}}$
Коеф. асиметрије	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ za }}\alpha >3$
Куртоза	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ za }}\alpha >4$
Ентропија	$\log \left(\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)\,e^{1+{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)$
МГФ	$\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ za }}t<0$
ЦФ	$\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)$
Фишерова информација	${\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}\\-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}$

Дефиниција

Ако је X рандоман променљива са Паретовом дистрибуцијом (тип I), онда је вероватноћа да је X веће од неког броја x, и.е. тхе функција преживљавања (такође звана функција репа), дата са

${\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}$

где је x_м (неопходно позитивни) минимум могуће вредности од X, и α је позитивни параметер. Паретова расподела типа I је карактерисана параметром скалирања x_м и параметром облика α, који је познат као индекс репа. Када се ова расподела користи за моделовање расподеле богатства, онда се параметер α назива Паретов индекс.

Својства

Функција кумулативне дистрибуције

По дефиницији, кумулативна функција расподеле Паретове рандомне променљиве са параметрима α и x_m је

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Функција густине вероватноће

По диференцијацији следи да је функција густине вероватноће

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Када се прикаже на линеарним осама, дистрибуција претпоставља познату криву у облику слова Ј која се асимптотски приближава свакој од ортогоналних оса. Сви сегменти криве су слични (подложни одговарајућим факторима скалирања). Када је прикаже на лог-лог графу, дистрибуција је представљена правом линијом.

Моменти и карактеристична функција

• Очекивана вредност рандомне променљиве која следи Паретову дистрибуцију је

$\operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}$

• Варијанса рандомне променљиве која следи Паретову дистрибуцију је

$\operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}$

(Ако је α ≤ 1, варијанса не постоји.)

• Моменти су

$\mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}$

• Моменат генерисања функције је дефинисан само за непозитивне вредности t ≤ 0

$M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)$

$M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.$

• Карактеристична функција је дата изразом

$\varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),$

где је Γ(а, x) некомплетна гама функција.

Условне дистрибуције

Дистрибуција условне вероватноће Парето-расподељене рандомне променљиве, датог догађаја који је већи или једнак од задатог броја $x_{1}$ до $x_{\text{m}}$, је Паретова дистрибуција са истим Паретовим индексом $\alpha$ али са минимумом $x_{1}$ уместо $x_{\text{m}}$.

Карактеризациона теорема

Нека су $X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc$ независне идентично распоређене рандомне променљиве чија је расподела вероватноће подржана на интервалу $[x_{\text{m}},\infty )$ за неко $x_{\text{m}}>0$. Нека су за свако $n$, две рандомне променљиве $\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ и $(X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ независне. Онда је заједничка дистрибуција Паретова дистрибуција.

Геометријска средина

Геометријска средина (G) је

$G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).$

Хармонијска средина

Хармонијска средина (H) је

$H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).$

Примене

Вилфредо Парето је изворно користио ову дистрибуцију како би описао расподелу богатства међу појединцима, јер се чинило да прилично добро показује начин на који већи део богатства било ког друштва поседује мањи проценат људи у том друштву. Такође је користио ову дистрибуцију да опише расподелу дохотка. Та се идеја понекад изражава једноставније као Паретов принцип или „правило 80-20”, што говори да 20% становништва контролише 80% богатства. Међутим, правило 80-20 одговара одређеној вредности α, и заправо, Паретови подаци о британским порезима на доходак у његовом раду Cours d'économie politique показују да је око 30% становништва имало око 70% прихода. Граф функције густине вероватноће (ПДФ) на почетку овог чланка показује да је „вероватноћа” или део популације која поседује малу количину богатства по особи прилично висока, а затим се стално смањује како богатство расте. (Паретова расподела није реалистична за богатство при доњем крају. Заправо нето вредност може чак да буде и негативна.) Ова дистрибуција није ограничена на описивање богатства или прихода, већ се сусреће у многим ситуацијама у којима је равнотежа пронађена у дистрибуцији „малог” на „велико”. Следећи примери се понекад сматрају приближно расподељеним по Паретовој дистрибуцији:

Кумулативна Паретова (Ломаксова) дистрибуција до максималних једнодневних падавина приказана користећи CumFreq

• Величине људских насеља (неколико градова, много засеока/села)
• Расподела величина датотека у Интернет промету који користи ТЦП протокол (много мањих датотека, неколико већих)
• Стопе грешака тврдих дискова
• Кластери Бозе–Ајнштајновог кондензата у близини апсолутне нуле
• Вредности нафтних резериви у нафтним пољима (неколико великих поља, много малих поља)
• Расподела дужине послова задатих суперрачунарима (неколико великих, пуно малих)
• Стандардизоване цене повраћаја на индивидуалним деоницама
• Величине честица песка
• Величина метеорита
• Озбиљност великих губитака од несреће за поједине делатности као што су општа одговорност, комерцијална возила и накнаде радника.
• Количина времена коју ће корисник на стиму провести играјући разне игре. (Неке игре се пуно играју, док се већина њих скоро никад не игра.)
• У хидрологији Паретова дистрибуција се користи за екстремне догађаје као што су годишње максималне једнодневне падавине и речни испусти. Плава слика илуструје уклапање Паретове дистрибуције у рангиране годишње максимуме једнодневних падавина. Такође је приказан 90% појас поузданости базиран на биномној дистрибуцији. Подаци о падавинама су представљени помоћу Q–Q графика као дела анализе кумулативне фреквенције.

Литература

• M. О. Лоренз (1905). „Метходс оф меасуринг тхе цонцентратион оф wеалтх”. Публицатионс оф тхе Америцан Статистицал Ассоциатион. 9 (70): 209—19. Бибцоде:1905ПАмСА...9..209Л. ЈСТОР 2276207. дои:10.2307/2276207. 
• Парето, Вилфредо (1965). Либраирие Дроз, ур. Ецритс сур ла цоурбе де ла рéпартитион де ла рицхессе. Œуврес цомплèтес : Т. III. стр. 48. ИСБН 9782600040211. 

• Парето, Вилфредо (1895). „Ла легге делла доманда”. Гиорнале Дегли Ецономисти. 10: 59—68. 

• Парето, Вилфредо (1896). „Цоурс д'éцономие политиqуе”. дои:10.1177/000271629700900314. 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Парето дистрибутион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Pareto distribution”. MathWorld. 
• Aabergé, Rolf (maj 2005), Gini's Nuclear Family (PDF), Архивирано из оригинала (PDF) 20. 04. 2020. г., Приступљено 17. 08. 2019 
• Crovella, Mark E.; Bestavros, Azer (decembar 1997). Self-Similarity in World Wide Web Traffic: Evidence and Possible Causes (PDF). IEEE/ACM Transactions on Networking. 5. стр. 835—846. Архивирано из оригинала (PDF) 04. 03. 2016. г. Приступљено 17. 08. 2019. 
• syntraf1.c Архивирано на сајту Wayback Machine (10. фебруар 2019) is a C program to generate synthetic packet traffic with bounded Pareto burst size and exponential interburst time.