Binomna raspodela

(преусмерено са Binomial distribution)

U teoriji verovatnoće i statistici, binomna raspodela sa parametrima n i p je diskretna raspodela verovatnoće broja uspeha u sekvenci od n nezavisnih eksperimenata, svaki od kojih daje odgovor na da-ne pitanje, i svaki ima svoj bulov rezultat - uspeh/da/tačno/jedan (sa verovatnoćoḿ p) ili neuspeh/ne/lažno/nula (sa verovatnoćom q = 1 − p). Pojedinačni uspeh/neuspeh eksperimenta se takođe naziva Bernulijev pokušaj ili Bernulijev eksperiment, a sekvenca ishoda se naziva Bernulijev proces; za pojedinačni pokušaj, i.e., n = 1, binomna distribucija je Bernulijeva raspodela. Binomna distribucija je osnova za popularni binomni test statističkog značaja.

Binomna raspodela
Funkcija verovatnoće
Probability mass function for the binomial distribution
Funkcija kumulativne raspodele
Cumulative distribution function for the binomial distribution
Notacija
Parametri – broj pokušaja
– verovatnoća uspeha za svaki pokušaj
Nositelj – broj uspeha
pmf
CDF
Prosek
Medijana ili
Modus ili
Varijansa
Koef. asimetrije
Kurtoza
Entropija
u šanonima.
MGF
CF
PGF
Fišerova informacija
(za fiksno )
Binomna distribucija za
sa n i k kao u Paskalovom trouglu
Verovatnoća da će kugla u Galtonovoj kutiji sa 8 slojeva (n = 8) završiti u centralnoj kutiji (k = 4) je .

Binomna distribucija se često koristi za modelovanje broja uspeha u uzorku veličine n koji je izvučen sa zamenom iz populacije veličine N. Ako se uzorkovanje vrši bez zamene, izvlačenja nisu nezavisna, pa je rezultirajuća raspodela hipergeometrijska, a ne binomna. Međutim, za N mnogo veće od n, binomna distribucija ostaje dobra aproksimacija i široko se koristi.

SpecifikacijaУреди

Funkcija verovatnoćeУреди

Generalno, ako randomna promenljiva X sledi binomnu distribuciju sa parametrima n i p ∈ [0,1], piše se X ~ B(np). Verovatnoća da se dobije tačno k uspeha u n pokušaja je data funkcijom verovatnoće:

 

za k = 0, 1, 2, ..., n, gde je

 

binomni koeficijent,[1] po kome je raspodela dobila ime. Formula se može razumeti na sledeći način. k uspeha se javlja sa verovatnoćom pk i n − k neuspeha se javlja sa verovatnoćom (1 − p)n − k. Međutim, k uspeha se može javiti bilo gde među n pokušaja, i postoji   različitih načina raspodeljivanja k uspeha u nizu od n pokušaja.

Pri stvaranju referentnih tabela za verovatnoću binomne distribucije, obično se tabela popunjava do n/2 vrednosti. To je zato što se za k > n/2, verovatnoća može izračunati njenim komplementom kao

 

Gledajući izraz f(knp) kao funkciju od k, postoji k vrednosti koje je maksimiziraju. Stoga se k vrednost može naći izračunavajući

 

i upoređujući tu vrednost sa 1. Uvek postoji ceo broj M koji zadovoljava

 

f(knp) je monotono rastući za k < M i monotono opadajući za k > M, uz izuzetak slučaja gde je (n + 1)p ceo broj. U tom slučaju, postoje dve vrednosti za koje je f maksimalno: (n + 1)p i (n + 1)p − 1. M je najverovatniji ishod (mada još uvek može da bude sveukupno malo verovatan) Bernulijevih pokušaja i naziva se modus.[2][3][4][5]

Funkcija kumulativne verovatnoćeУреди

Funkcija kumulativne verovatnoće se može izraziti kao:[6]

 

gde je   „pod” ispod k, i.e. najveći ceo broj manji od ili jedna sa k.

On se može predstaviti u vidu regulisane nekompletne beta funkcije,[7][8] na sledeći način:[9]

 

Neki granični slučajevi zatvorenog oblika za funkciju kumulativne distribucije dati su u nastavku.

PrimerУреди

Pretpostavka je da se pristranim bacanjem novčića dobija glava sa verovatnoćom 0,3. Pitanje je: koja je verovatnoća postizanja 0, 1, ..., 6 glava posle šest bacanja?

 
 
 
 
 
 
 [10]

OčekivanjeУреди

Ako je X ~ B(n, p), drugim rečima, X je binomno distribuirana randomna promenljiva, pri čemu je n ukupan broj eksperimenata, a p je verovatnoća svakog eksperimenta da proizvede uspešan rezultat, onda je očekivana vrednost X:[11]

 

Na primer, ako je n = 100, i p = 1/4, onda je prosečan broj uspešnih rezultata 25.

Proof: Srednja vrednost, μ, se direktno izračunava po definiciji

 

i binomnoj teoremi:

 

Srednja vrednost se može izvesti iz jednačine   gde su sve randomne promenljive   obuhvaćene Bernulijevom raspodelom sa   (  ako i-ti eksperiment uspe, dok je inače  ). Dobija se:  

VarijansaУреди

Varijansa je:

 

Dokaz: Neka je   gde su sve   nezavisne randomne promenljive Bernulijeve raspodele. Kako je  , dobija se:

 

ReferenceУреди

  1. ^ Lilavati Section 6, Chapter 4 (see Knuth (1997)).
  2. ^ „AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions”. Архивирано из оригинала на датум 02. 04. 2015. Приступљено 16. 3. 2015. 
  3. ^ „Relationship between the mean, median, mode, and standard deviation in a unimodal distribution”. 
  4. ^ Hippel, Paul T. von (2005). „Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule”. Journal of Statistics Education. 13 (2). doi:10.1080/10691898.2005.11910556. 
  5. ^ Bottomley, H. (2004). „Maximum distance between the mode and the mean of a unimodal distribution” (PDF). Unpublished preprint. 
  6. ^ Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. 
  7. ^ Zelen, M.; Severo, N. C. (1972), „26. Probability functions”, Ур.: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, стр. 925—995, ISBN 978-0-486-61272-0 
  8. ^ Davis, Philip J. (1972), „6. Gamma function and related functions”, Ур.: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 
  9. ^ Wadsworth, G. P. (1960). Introduction to Probability and Random Variables. New York: McGraw-Hill. стр. 52. 
  10. ^ Hamilton Institute. "The Binomial Distribution" October 20, 2010.
  11. ^ See Proof Wiki

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди