Википедија

Поенкареова хипотеза

У математици, Поенкареова хипотеза је теорема о карактеризацији 3-сфере, која је хиперсфера која ограничава јединичну лопту у четвородимензионалном простору.[1][2][3]

Ова хипотеза наводи:

Свака једноставно повезана, затворена 3-многострукост је хомеоморфна са 3-сфером.

Еквивалентни облик хипотезе представља грубља форма еквиваленције од хомеоморфизма која се назива хомотопска еквиваленција: ако је 3-многострукост хомотопно еквивалентна 3-сфери, онда је то нужно хомеоморфна на њој.

Ова хипотеза коју је првобитно поставио Анри Поенкаре, односи се на простор који локално изгледа као обични тродимензионални простор, али је повезан, коначне величине и нема било какве границе (затворена 3-многострукост). Поенкареова претпоставка тврди да ако такав простор има додатно својство да се свака петља у простору може непрекидно стезати до тачке, он је нужно тродимензионална сфера. Аналогне претпоставке за све више димензије већ су биле доказане.

Након што су скоро цео један век математичари настојали да докажу ову хипотезу, Григориј Перељман је представио доказ претпоставке у три рада, која су објављена 2002. и 2003. године на arXiv. Доказ је базиран на програму Ричарда С. Хамилтона да користи Ричијев ток за покушај решавања проблема. Касније је Хамилтон увео модификацију стандардног Ричијевог тока, звану Ричијев ток хируршким захватом да систематски изрезује појединачне регије како се развијају, на контролисан начин, али није успео да докаже да ова метода „конвергира” у три димензије.[4] Перелман је комплетирао овај део доказа. Неколико тимова математичара потврдило је да је Перелманов доказ тачан.

Поенкареова хипотеза, пре него што је доказана, била је једно од најважнијих отворених питања у топологији. Године 2000, проглашена је једним од седам Миленијумских наградних проблема за који је Клејов институт за математику понудио награду од милион долара за прво исправно решење. Перелманов рад је преживео преглед и потврђен је 2006. године, што је довело до тога да му је понуђена Филдсова медаља, коју је он одбио. Перелман је награђен Миленијумском наградом 18. марта 2010. године.[5] Дана 1. јула 2010. године он је одбио награду рекавши да верује да његов допринос у доказивању Поенкареове хипотезе није већи од Хамилтоновог.[6][7] Према подацима из 2020. године, Поенкареова хипотеза је једини решени Миленијумски проблем.

Дана 22. децембра 2006. године часопис Сциенце одао је почаст Перелмановом доказу Поенкареове хипотезе као „Пробоју године”, први пут када је та почаст додељена у области математике.[8]

Историја уреди

 
Ниједна од две обојене петље на овом торусу не може се непрекидно затегнути до тачке. Торус није хомеоморфан сфери.

Поенкареово питање уреди

Анри Поенкаре је радио на основама топологије — што је касније постало познато као комбинаторна топологија, а затим алгебарска топологија. Посебно га је занимало која тополошка својства карактеришу сферу.

Поенкаре је 1900. године тврдио да је хомологија, алат који је осмислио на основу претходног рада Енрика Бетија, довољна да се каже да ли је 3-многострука 3-сфера. Међутим, у раду из 1904. описао је контрапример за ову тврдњу, простор који се сада зове Поенкареова хомолошка сфера. Поенкареова сфера је била први пример хомолошке сфере, многострукости која је имала исту хомологију као сфера, од које су од тада конструисане многе друге. Да би утврдио да је Поенкареова сфера другачија од 3-сфере, Поенкаре је увео нову тополошку инваријанту, фундаменталну групу, и показао да Поенкареова сфера има фундаменталну групу реда 120, док је 3-сфера имала тривијалну фундаменталну групу. На тај начин је могао да закључи да су ова два простора, заиста, различита.

У истом раду, Поенкаре се запитао да ли 3-многострукост са хомологијом 3-сфере и такође тривијалне фундаменталне групе мора бити 3-сфера. Поенкареов нови услов — то јест, „тривијална фундаментална група“ — може се поново изрећи као „свака петља се може смањити до тачке“.

Оригинална фраза је била следећа:

Размотримо компактну 3-димензионалну многострукост V без границе. Да ли је могуће да би основна група V могла бити тривијална, иако V није хомеоморфна тродимензионалној сфери?

Поенкаре никада није изјавио да ли верује да ће овај додатни услов карактерисати 3-сферу, али без обзира на то, изјава која то чини је позната као Поенкареова претпоставка. Ово је стандардни облик претпоставке:

Свака једноставно повезана, затворена 3-многострукост је хомеоморфна 3-сфери.

Треба имати на уму да „затворено” овде значи, као што је уобичајено у овој области, услов да је компактно у смислу топологије скупа, а такође и без граница (3-димензионални еуклидски простор је пример једноставно повезане 3-многострукости која није хомеоморфна са 3-сфером; али није компактна и стога није контра-пример).

Решења уреди

Током 1930-их, Џ. Х. К. Вајтхед је тврдио да има доказ, али га је потом повукао. У том процесу, открио је неке примере једноставно повезаних (заиста контрактивних, тј. хомотопски еквивалентних тачки) некомпактних 3-многострукости које нису хомеоморфне са  , прототипом који се сада зове Вајтхедова многострукост.

Током 1950-их и 1960-их, други математичари су покушавали да докажу претпоставку само да би открили да њихова решења садрже недостатке. Утицајни математичари као што су Жорж де Рам, Р. Х. Бинг, Волфганг Хакен, Едвин Е. Мојз и Христос Папакиријакопулос покушали су да докажу претпоставку. Године 1958, Р. Х. Бинг је доказао слабу верзију Поенкареове претпоставке: ако је свака једноставна затворена крива компактне 3-многострукости садржана у 3-лопти, онда је многострукост хомеоморфна 3-сфери.[9] Бинг је такође описао неке од замки у покушају да докаже Поенкареову претпоставку.[10]

Влођимиерз Јакобсце је 1978. године показао да, ако је Бинг–Борсукова претпоставка тачна у димензији 3, онда и Поенкареова претпоставка мора бити тачна.[11]

Временом је ова претпоставка стекла репутацију посебно тешког проблема за решавање. Џон Милнор је прокоментарисао да понекад грешке у лажним доказима могу бити „прилично суптилне и тешко их је открити.“[12] Рад на претпоставци је побољшао разумевање 3-многострукости. Стручњаци у овој области често нису били вољни да објаве доказе и били су склони да на сваку такву најаву гледају са скептицизмом. Током 1980-их и 1990-их објављено је неких добро промовисаниох лажних доказа (који заправо нису објављени у рецензираном облику).[13][14]

Излагање покушаја да се докаже ова претпоставка може се наћи у нетехничкој књизи Поенкареова награда аутора Џорџа Шпире.[15]

Референце уреди

  1. ^ „Поинцарé, Јулес-Хенри”. Оxфорд Дицтионариес. Оxфорд Университy Пресс. Приступљено 9. 8. 2019. 
  2. ^ „Поинцарé”. Тхе Америцан Херитаге Дицтионарy оф тхе Енглисх Лангуаге (5тх изд.). Бостон: Хоугхтон Миффлин Харцоурт. 2014. Приступљено 9. 8. 2019. 
  3. ^ „Поинцарé”. Мерриам-Wебстер Дицтионарy. Приступљено 9. 8. 2019. 
  4. ^ Хамилтон, Рицхард С. (1997). „Фоур-манифолдс wитх поситиве исотропиц цурватуре”. Цоммуницатионс ин Аналyсис анд Геометрy. 5 (1): 1—92. МР 1456308. Збл 0892.53018. дои:10.4310/цаг.1997.в5.н1.а1. 
  5. ^ „Призе фор Ресолутион оф тхе Поинцарé Цоњецтуре Аwардед то Др. Григориy Перелман” (Саопштење). Цлаy Матхематицс Институте. 18. 3. 2010. Архивирано из оригинала (ПДФ) 22. 3. 2010. г. Приступљено 13. 11. 2015. „Тхе Цлаy Матхематицс Институте (CMI) анноунцес тодаy тхат Др. Григориy Перелман оф Ст. Петерсбург, Руссиа, ис тхе реципиент оф тхе Милленниум Призе фор ресолутион оф тхе Поинцарé цоњецтуре.” 
  6. ^ „Последнее "нет" доктора Перельмана” [Тхе ласт "но" Др. Перелман]. Интерфаx (на језику: руски). 1. 7. 2010. Приступљено 5. 4. 2016.  Гоогле Транслатед арцхивед линк ат [1] (арцхивед 2014-04-20)
  7. ^ Риттер, Малцолм (1. 7. 2010). „Руссиан матхематициан рејецтс миллион призе”. Тхе Бостон Глобе. 
  8. ^ Мацкензие, Дана (22. 12. 2006). „Тхе Поинцарé Цоњецтуре—Провед”. Сциенце. Америцан Ассоциатион фор тхе Адванцемент оф Сциенце. 314 (5807): 1848—1849. ИССН 0036-8075. ПМИД 17185565. дои:10.1126/сциенце.314.5807.1848. Архивирано из оригинала 2. 1. 2007. г. 
  9. ^ Бинг, Р. Х. (1958). „Нецессарy анд суффициент цондитионс тхат а 3-манифолд бе С3”. Анналс оф Матхематицс. Сецонд Сериес. 68 (1): 17—37. ЈСТОР 1970041. дои:10.2307/1970041. 
  10. ^ Бинг, Р. Х. (1964). „Соме аспецтс оф тхе топологy оф 3-манифолдс релатед то тхе Поинцарé цоњецтуре”. Лецтурес он Модерн Матхематицс. II. Неw Yорк: Wилеy. стр. 93—128. 
  11. ^ M., Халверсон, Денисе; Душан, Реповш (23. 12. 2008). „Тхе Бинг–Борсук анд тхе Бусеманн цоњецтурес”. Матхематицал Цоммуницатионс (на језику: енглески). 13 (2). арXив:0811.0886  . 
  12. ^ Милнор, Јохн (2004). „Тхе Поинцарé Цоњецтуре 99 Yеарс Латер: А Прогресс Репорт” (ПДФ). Приступљено 2007-05-05. 
  13. ^ Таубес, Гарy (јул 1987). „Wхат хаппенс wхен хубрис меетс немесис”. Дисцовер. 8: 66—77. 
  14. ^ Маттхеwс, Роберт (9. 4. 2002). „$1 миллион матхематицал мyстерy "солвед"”. НеwСциентист.цом. Приступљено 2007-05-05. 
  15. ^ Сзпиро, Георге (2008). Поинцарé'с Призе: Тхе Хундред-Yеар Qуест то Солве Оне оф Матх'с Греатест Пуззлес. Плуме. ИСБН 978-0-452-28964-2. 

Литература уреди

Спољашње везе уреди

 
Поенкареова хипотеза на Викимедијиној остави.
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Poenkareova_hipoteza&oldid=27676472”