Стоксова теорема

У математици и физици, Стоксова теорема или Келвин-Стоксова теорема, названа по Џорџу Габријелу Стоксу и Лорду Келвину је генерализација Гринове теореме у вишим димензијама. Позната је и као основна теорема ротације, а једна је од битнијих теорема у векторској анализи. Она повезује криволинијски интеграл око просте затворене криве C и двоструки интеграл над области С ограниченом са C, а такође повезује и дефиницију екстериорних извода са тополошким контурама у случају њене генерализације.

Теорема у тродимензионалном Р³ омотачу гласи:

Нека је С позитивно оријентисана, део по део, глатка површина ограничена једноставном, затвореном кривом C= ∂С и нека је Ф векторско поље које припада тој површини, онда је:

$\int \limits _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\iint \limits _{S}\nabla \times {\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}$

За позитивну оријентацију криве сматра се орјентација у смеру супротном смеру казаљки на сату. Некада се црта кружић на симболу интеграла да се означи да је крива C затворена крива.

Интуиција доказа

Као универзалнији приступ Гриновој теореми, интуиција иза Стоксове теореме говори да је укупна закривљеност над једним простором једнака закривљености на његовој граници.

Примена

Стоксова теорема има бројних примена у физици, то јест механици флуида, иротационим векторским пољима, електромагнетизму, топологији,... Овде се разматра примена на Максвелове једначине, најбитније једначине електромагнетизма.

Максвелове једначине

У електромагнетизму, Стоксова теорема омогућава проверу једнакости диференцијалних форми у Максвел-Фарадејевом и Максвел-Амперовом закону. Ако се примени на електрично поље Е у Фарадејевом закону гласи:

$\oint \limits _{\partial \Sigma }E\cdot dl=\iint \limits _{\Sigma }\nabla \times E\cdot dS$

У Амперовом закону применљива је на магнетно поље Б:

\oint \limits _{\partial \Sigma }B\cdot dl=\iint \limits _{\Sigma }\nabla \times B\cdot dS

Генерализација

Генерализација Стоксове теореме на вишедимензионалне омотаче пружа математичко схватање контура и показује примену екстериорних извода (генерализује изводе на више димензије). Она гласи:

$\int \limits _{\partial t}{\vec {F}}=\int \limits _{t}d{\vec {F}}$

У нотацији ∂т означава контуру, а дФ екстериорни извод. Теорема показује супротност између контура и извода. Показује и да су диференцијални и инфинтезимални рачун у једној, две и три димензије, као и основна теорема диференцијалног и инфинтезималног рачуна само њени специјални случајеви.

Види још

Референце

1.^ Стокес тхеорем, Wикипедиа

2. ^ Wолфрам Матхwорлд

3. ^Цалцулус III, Ламар Институте

4.^МИТ 18.02СЦ

5.^Стеwарт, Јамес (2012). Цалцулус - Еарлy Трансценденталс

6.^Максикмовић, Тамара (2012). Тензорска поља и диференцијалне форме на глатким многострукостима