Винов закон померања

Винов закон померања је закон који тврди да код зрачења апсолутно црног тела, како температура расте, максимум криве интензитета зрачења постаје виши и помера се ка краћим таласним дужинама. Закон се често назива и само Винов закон, а директно се изводи из Планковог закона зрачења.

Енергетски спектар апсолутно црног тела

Црно тело

Крива зрачења апсолутно црног тела има сличне облике за све температуре, а максимум криве се са повећањем температуре помера ка нижим таласним дужинама по пропорционалном закону:

$\lambda _{\mathrm {max} }={\frac {b}{T}},$

где је λ_маx таласна дужина на којој се достиже максимална вредност интензитета зрачења, а Т је термодинамичка температура идеалног црног тијела. Константа пропорције b у Виновом закону померања назива се Винова константа и износи 2,897768551 × 10⁻³ м×К.

Винов закон се може представити и у зависности од фреквенције:

$\nu _{\mathrm {max} }={\alpha \over h}kT\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T$

где је α ≈ 2,821439, к је Болцманова константа, х је Планкова константа, а Т - термодинамичка температура идеалног црног тела.

Извођење Виновог закона померања

Винов закон померања представља последицу Планковог закона за спектар апсолутно црног тела и помоћу њега се може израчунати Винова константа.

Један од начина представљања Планковог закона је преко спектралне радијансе црног тела у(λ,Т) која представља однос снаге по површини са које се зрачење емитује и по јединици таласне дужине. Планков закон у том облику гласи:

$u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.$

Диференцирањем у(λ,Т) у односу на λ и изједначавањем првог извода са нулом због тражења екстремалне вредности, добија се:

${\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,$

што сређивањем даје:

${hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.$

Увођењем смене:

$x\equiv {hc \over \lambda kT},$

једначина постаје једначина једне променљиве:

${xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.$

Нумеричко решење ове једначине је x = 4.965114231, али се не може добити решавањем помоћу елементарних функција. Из овог резултата се добија зависност таласне дужине у нанометрима и температуре у келвинима као:

$\lambda _{\mathrm {max} }={hc \over x}{1 \over kT}={2.89776829\times 10^{6}\ \mathrm {nm} \cdot K \over T}.$

На сличан начин се добија и Винов закон померања представљен преко температуре и фреквенције, представљајући Планков закон у облику у којем фигурише фреквенција уместо таласне дужине.

Примена

У зрачењу електричне сијалице, 90% зрачења налази се ван видљивог дела спектра.

• Светлост са Сунца и Месеца

Температура на површини Сунца је 5.778 К. Помоћу Виновог закона померања може се израчунати таласна дужина на којој је зрачење максимално и она износи 502 нм. Негде у овом делу таласних дужина се људско и животињско прилагодио да на тој таласној дужини буде најосетљивије. Сличну осетљивост вида имају и ноћне животиње које често користе светлост са Месеца, јер Месец заправо само одбија Сунчеву светлост.

• Светлост електричне сијалице и светлост ватре

Температура жарне електричне сијалице износи око 3.700 К. Њена таласна дужина максималну вредност има на жутој боји светлости, а 90% зрачења налази се ван видљивог дела спектра, у инфрацрвеном делу спектра. Ватра која гори на дрва има температуру око 1.500 К и њена максимална таласна дужина је око 2.000 нм, тако да има већински део зрачења у инфрацрвеном подручју, а оком видимо само мањи део зрачења.

• Зрачење сисара и људи

Свако тело зрачи. Сисари и људи имају температуру око 310 К, па је код њих таласна дужина на којој је зрачење максимално око 10 000 нм, што је далеко у инфрацрвеном делу спектра. Осим камера, овај део спектра могу видети и змије.

• Велики прасак

Температура космичког микроталасног позадинског зрачења је 2,7 К што одговара максималној таласној дужини од 1,06 мм, а то је у области микроталасног зрачења.