Aksioma

Definicija aksiome, aksioma ili postulata potiče iz tradicionalne logike i definiše se kao propozicija koja nije dokazana. Aksiom je logički izraz za koji se smatra da je tačan. Njegova istinitost se podrazumeva i on služi kao početna tačka za dalju dedukciju i inferenciju. Svaka razvijena teorija mora biti aksiomatski sistematizovana.

Termin ima suptilne razlike u definiciji kada se koristi u kontekstu različitih oblasti studija. Kao što je definisano u klasičnoj filozofiji, aksiom je izjava koja je toliko očigledna ili dobro utvrđena, da je prihvaćena bez kontroverzi ili pitanja. Kako se koristi u modernoj logici, aksiom je premisa ili polazna tačka za rasuđivanje.

Kako se koristi u matematici, termin aksiom se koristi u dva srodna, ali različita značenja: „logički aksiomi” i „nelogički aksiomi”. Logički aksiomi su obično iskazi koji se smatraju tačnim u okviru logičkog sistema koji oni definišu i često se prikazuju u simboličkom obliku (npr. (A i B) impliciraju A), dok nelogički aksiomi (npr. a + b = b + a) zapravo su suštinske tvrdnje o elementima domena određene matematičke teorije (kao što je aritmetika).

Kada se koristi u drugom smislu, „aksiom”, „postulat” i „pretpostavka” mogu se koristiti naizmenično. U većini slučajeva, nelogički aksiom je jednostavno formalni logički izraz koji se koristi u dedukciji za izgradnju matematičke teorije i može, ali i ne mora biti očigledan po prirodi (npr. paralelni postulat u Euklidskoj geometriji). Aksiomatizovati sistem znanja znači pokazati da se njegove tvrdnje mogu izvesti iz malog, dobro shvaćenog skupa rečenica (aksioma), i može postojati više načina da se aksiomatizuje dati matematički domen.

Svaki aksiom je izjava koja služi kao polazna tačka iz koje se logički izvode drugi iskazi. Da li je to smisleno (i, ako jeste, šta to znači) da je aksiom „istinit”, predmet je debate u filozofiji matematike.

Etimologija

Reč aksiom potiče od grčke reči ἀξίωμα (axíōma), glagolske imenice od glagola ἀξιόειν (axioein), što znači „smatrati dostojnim“, ali i „zahtevati“, što zauzvrat potiče od ἄξιος (áxios), što znači „biti u ravnoteži“, pa otuda „imati (istu) vrednost (kao)“, „dostojan“, „ispravan“. Među drevnim grčkim filozofima aksiom je bio tvrdnja za koju se moglo videti da je očigledno istinita bez potrebe za dokazom.

Korensko značenje reči postulat je „zahtevati“; na primer, Euklid zahteva da se čitalac složi da se neke stvari mogu uraditi (npr. bilo koje dve tačke mogu biti spojene pravom linijom).

Drevni geometri su održavali određenu razliku između aksioma i postulata. Komentarišući Euklidove knjige, Proklo napominje da je „Gemin smatrao da ovaj [4.] postulat ne treba klasifikovati kao postulat već kao aksiom, pošto on, za razliku od prva tri postulata, ne potvrđuje mogućnost neke konstrukcije, već izražava suštinsko svojstvo.“ Boetije je preveo „postulat“ kao petitio i nazvao aksiome notiones communes, ali u kasnijim rukopisima ova upotreba nije uvek bila striktno podržana.

Grčko poreklo

Aksioma (Axiom):

• od grč. αξίω¬μα, „potraživanje“;
• odn. grč. άξιόειν, „držati za vredno“ ili „držati za istinito“, odnosno, „ono što se drži za istinito“;
• ili grč. αξιωμα - iskaz koji vredi da se usvoji, neosporan.

Istorijski razvoj

Rani Grci

Logičko-deduktivni metod u kome zaključci (novo znanje) slede iz premisa (starog znanja) kroz primenu čvrstih argumenata (silogizama, pravila zaključivanja) razvili su stari Grci i postao je osnovni princip moderne matematike. Izuzev tautologija, ništa se ne može zaključiti ako se ništa ne pretpostavlja. Aksiomi i postulati su stoga osnovne pretpostavke na kojima se zasniva dato telo deduktivnog znanja. Oni se prihvataju bez demonstracije. Sve ostale tvrdnje (teoreme, u slučaju matematike) moraju se dokazati uz pomoć ovih osnovnih pretpostavki. Međutim, tumačenje matematičkog znanja se promenilo od drevnih vremena do modernog, i stoga termini aksiom i postulat imaju nešto drugačije značenje za današnjeg matematičara nego što su imali za Aristotela i Euklida.

Stari Grci su geometriju smatrali samo jednom od nekoliko nauka i držali su teoreme geometrije u rangu sa naučnim činjenicama. Stoga su oni razvili i koristili logičko-deduktivnu metodu kao sredstvo za izbegavanje grešaka, kao i za strukturiranje i prenošenje znanja. Aristotelova posteriorna analitika je definitivno izlaganje klasičnog pogleda.

„Aksiom”, u klasičnoj terminologiji, odnosio se na očiglednu pretpostavku zajedničku za mnoge grane nauke. Dobar primer bi bila tvrdnja da

Kada se od jednakih uzme jednak iznos, dobija se jednak iznos.

U temelju različitih nauka ležale su određene dodatne hipoteze koje su prihvatane bez dokaza. Takva hipoteza je nazvana postulat. Dok su aksiomi bili zajednički za mnoge nauke, postulati svake pojedine nauke su bili različiti. Njihova validnost je morala biti utvrđena putem iskustva iz stvarnog sveta. Aristotel upozorava da se sadržaj nauke ne može uspešno preneti ako je učenik u nedoumici u pogledu istinitosti postulata.

Značenje aksioma u naukama

U matematici

Aksioma je u matematici iskaz koji se usvaja bez dokaza.

Sistem aksioma je skup aksioma na kome se gradi matematička teorija. Sistem aksioma mora da zadovoljava uslove:

1. neprotivrečnosti
2. nezavisnosti
3. potpunosti

Do danas su aksiomatski definisane mnoge matematičke teorije kao što su geometrija, aritmetika, teorija verovatnoće i druge.

U geometriji

Prvi začeci aksiomatizovanja geometrije nalaze se već kod Euklida oko 300. godine p. n. e., da bi je Hilbert krajem 19. veka potpuno aksiomatizovao. U raspravi ο aksiomatskom uobličavanju geometrije, sporna je bila aksioma paralelnosti, koja glasi: „Ako je a prava, a Ρ tačka koja ne leži na a, tada u ravni u kojoj leže a i Ρ postoji tačno jedna prava kroz Ρ paralelna sa pravom a .“

Iako ju je Euklid formulisao kao petu i poslednju aksiomu, s obzirom na izrazitu razliku u odnosu na prethodne četiri, godinama je pokušavano dokazivanje njenog tvrđenja iz prethodne četiri aksiome koje danas spadaju u Apsolutnu geometriju. Pridruživanjem pete aksiome Apsolutnoj geometriji, dobija se Euklidska geometrija, a pridruživanjem njene negacije, dobijaju se neeuklidske geometrije.

U logici

Prvi pokušaji da se logika formuliše kao aksiomatski sistem potiču od Lajbnica. Suštinski pomaci su i ovde, kao i u oblasti matematike, bili učinjeni od druge polovine 19. veka, uz značajne doprinose Fregea i Hilberta.

U toku modernog razvoja postepeno je počeo da se menja smisao „aksiome“. Za izbor određenih stavova kao aksioma neke teorije, ne uzima se samo stepen njihove očiglednosti, već se za aksiome uzimaju stavovi od kojih je moguće što jednostavnije izvesti istinite iskaze teorije.

Istovremeno sa dobijanjem novog značenja aksiome, započelo se na formulaciji aksiomatskih sistema u kome se stavovi aksioma tumače isključivo na osnovu formalno određenih računa.

U filozofiji

Po uzoru na geometriju, preduzeti su pokušaji da se i filozofske teorije definišu kao aksiomatski sistemi, poput matematičkih teorija. Poznato je da je Spinoza na ovaj način (more geometrico) pokušao da predstavi etiku.

U empirijskim naukama

U empirijskim naukama, posebno u fizici, pod aksiomama se obično označavaju veoma uopšteni stavovi koji su potvrđeni iskustvom sa jako velikom verovatnoćom. Neke od najpoznatijih tako definisanih aksioma su njutnove aksiome mehanike.

Vidi još

• Aksiome verovatnoće
• Hilbertove aksiome

Literatura

• Mendelson, Elliot (1987). Introduction to mathematical logic. Belmont, California: Wadsworth & Brooks. ISBN 0-534-06624-0
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Axiomatic method”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Eric W. Weisstein, Axiomatic System, From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Mathworld.wolfram.com & Answers.com
• Orestes J. Gonzalez, Actus Essendi and the Habit of the First Principle in Thomas Aquinas (New York: Einsiedler Press, 2019).
• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Model Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd izd.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3. 
• Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58713-6. 
• Kopperman, R. (1972). Model Theory and Its Applications. Boston: Allyn and Bacon. 
• Marker, David (2002). Model Theory: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6. 
• Bell, John L.; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (reprint of 1974 izd.). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3. 
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang (1994). Mathematical Logic. Springer. ISBN 0-387-94258-0. 
• Hinman, Peter G. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0. 
• Hodges, Wilfrid (1993). Model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-30442-3. 
• Manzano, María (1999). Model theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-853851-0. 
• Poizat, Bruno (2000). A Course in Model Theory. Springer. ISBN 0-387-98655-3. 
• Rautenberg, Wolfgang (2010). A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd izd.). New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4419-1220-6. doi:10.1007/978-1-4419-1221-3. 
• Rothmaler, Philipp (2000). Introduction to Model Theory (new izd.). Taylor & Francis. ISBN 90-5699-313-5. 
• Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). A Course in Model Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521763240. 
• Kirby, Jonathan (2019). An Invitation to Model Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-16388-1. 
• Chatzidakis, Zoé (2001). Introduction to Model Theory (PDF). str. 26 pages. 
• Pillay, Anand (2002). Lecture Notes – Model Theory (PDF). str. 61 pages. 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Model theory”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hodges, Wilfrid, Model theory. The Stanford Encyclopedia Of Philosophy, E. Zalta (ed.).
• Hodges, Wilfrid, First-order Model theory. The Stanford Encyclopedia Of Philosophy, E. Zalta (ed.).
• Simmons, Harold (2004), An introduction to Good old fashioned model theory. Notes of an introductory course for postgraduates (with exercises).
• J. Barwise and S. Feferman (editors), Model-Theoretic Logics, Perspectives in Mathematical Logic, Volume 8, New York: Springer-Verlag, 1985.
• „Model Theory”. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2020. 
• Morley, Michael (1963). „On theories categorical in uncountable powers”. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 49 (2): 213—216. Bibcode:1963PNAS...49..213M. PMC 299780 . PMID 16591050. doi:10.1073/pnas.49.2.213 . 

Spoljašnje veze

• Aksioma na sajtu PhilPapers
• Axiom at PlanetMath.org.
• Metamath axioms page