Binomna teorema

Binomna teorema je teorema elementarne algebre i opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti izraz (x + y)ⁿ sumom sabiraka oblika ax^by^c, gde su koeficijenti a pozitivni celi brojevi, pri čemu je zbir eksponenata x i y jednak n za svaki sabirak. Na primer:

Binomni koeficijenti se pojavljuju kao elementi Paskalovog trougla.

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti. Oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Ovi brojevi se mogu izračunati jednostavnom formulom koja koristi faktorijel.

Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici, gde je izraz x^n−ky^k jednak broju različitih kombinacija k elemenata koji se biraju iz skupa od n članova.

Formule

Koeficijent koji stoji uz x^n−ky^k dat je formulom:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$

koja je definisana uz pomoć funkcije faktorijela n!. Ova formula se može napisati i na sledeći način:

${n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}$

gde su k faktori i u imeniocu i u brojiocu razlomka. Iako se u ovoj formuli koristi razlomak, binomni koeficijenti su celi brojevi.

Iskaz teoreme

Svaki stepen izraza x + y moguće je predstaviti u formi:

${\begin{aligned}(x+y)^{n}&={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+{n \choose 3}x^{n-3}y^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},\end{aligned}}$

gde ${\tbinom {n}{k}}$ označava odgovarajući binomni koeficijent. Drugi način zapisivanja ove formule je:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.$

Spoljašnje veze

• Uvod u binomnu teoremu Arhivirano na sajtu Wayback Machine (21. mart 2019)