Отворите главни мени
Факторијел првих неколико бројева и факторијел неких већих бројева
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5,040
8 40,320
9 362,880
10 3,628,800
11 39,916,800
12 479,001,600
13 6,227,020,800
14 87,178,291,200
15 1,307,674,368,000
16 20,922,789,888,000
17 355,687,428,096,000
18 6,402,373,705,728,000
19 121,645,100,408,832,000
20 2,432,902,008,176,640,000
25 1,551,121,004×1025
50 3,041,409,320×1064
70 1,197,857,167×10100
100 9,332,621,544×10157
450 1,733,368,733×101,000
1,000 4,023,872,601×102,567
3,249 6,412,337,688×1010,000
10,000 2,846,259,681×1035,659
25,206 1,205,703,438×10100,000
100,000 2,824,229,408×10456,573
205,023 2,503,898,932×101,000,004
1,000,000 8,263,931,688×105,565,708
10100 1010101,998,109,775,4820

У математици, факторијел ненегативног цијелог броја је производ свих позитивних бројева мањих или једнаких . На примјер, и , гдје представља n-факторијел. Ознаку је први увео Кристијан Крамп, 1808. године. Вредност 0! је 1, према конвенцији за празан производ.[1]

Операција факторијел се среће у многим областима математике, а посебно у комбинаторици, алгебри и математичкој анализи. Његова најосновнија употреба је бројање могућих различитих низова -- пермутација -- од n различитих објеката: којих има n!.

Факторијелска функција се исто тако може проширити на аргументе који нису целобројни уз задржавање најважнијих својстава; то укључује напреднију математику, и технике из математичке анализе.

ДефиницијаУреди

Факторијел се формално дефинише на сљедећи начин

 

Горња дефиниција претпоставља да је:

 

Ова дефиниција је корисна јер рекурзивна дефиниција факторијела гласи

 ,

за шта је неопходно да факторијел броја 0 буде 1.

КомбинаторикаУреди

Факторијел је важан у комбинаторици. На примјер, постоји укупно   различитих начина да се распореди   различитих објеката (ови различити начини распореда се зову пермутације). Број начина на који се може извући   објеката из скупа од   објеката (број комбинација), је дат такозваним биномним коефицијентом:

 

Теорија бројеваУреди

Факторијел се много користи у теорији бројева. Конкретно,   је увијек дјељив свим простим бројевима до и укључујући  . Посљедично,   је композитан број ако и само ако

 .

Штавише, имамо Вилсонову теорему која тврди

 

ако и само ако је   прост број.

Једини факторијел броја а који је истовремено и прост број је број 2, али има много простих бројева облика  .

Двоструки факторијел n!!Уреди

  није једнако  

 
  • 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
  • 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Брзина раста функцијеУреди

 
График природног логаритма факторијела

Како   расте, факторијел   постаје већи од свих полиномијалних и експоненцијалних функција од  .

Кад је   велико,   се процјењује са великом прецизношћу користећи Стирлингову апроксимацију:

 

Логаритам факторијела се може искористити да би се израчунало колико ће цифара у датом бројном систему имати факторијел задатог броја.   се може лако израчунати на сљедећи начин:

 

Треба обратити пажњу да ова функција, кад јој се нацрта график, изгледа приближно линеарна, за мале вриједности; али фактор   расте до прилично великих вриједности, премда јако споро. График   за   између 0 и 20,000 је приказан десно.

ИзрачунавањеУреди

Вриједност   се може израчунати множењем свих природних бројева до  , ако   није велико. Највећи број за којег већина калкулатора може израчунати вриједност је  , јер је  .   и   су, тим редом, највећи бројеви чији факторијел може да стане у стандардне цјелобројне промјенљиве код тридесетдвобитних и шездесетчетворобитних рачунара. У пракси, већина програма рачуна ове мале бројеве директним множењем или вађењем резултата из табеле. Факторијели већих бројева се рачунају обично апроксимацијом, користећи Стирлингову формулу.

У теорији бројева и комбинаторици, често су потребне тачне вриједности факторијела великих бројева. Факторијели великих бројева се могу израчунати директних множењем, али множење редом   одоздо нагоре је неефикасно; боље је рекурзијом подијелити секвенцу тако да је величина сваког потпроизвода мања.

Види јошУреди

РеференцеУреди

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди