Множење

Множење је бинарна операција у математици. Записује се као a · b или a × b. Операнди a и b се називају чиниоци (фактори), а резултат множења производ.

3 · 4 = 12, па 12 куглица може бити сложено као 3 врсте по 4 (или 4 колоне по 3) куглице

Ако је један операнд природан број, онда множење представља скраћени запис сабирања. Нпр, ако је n ∈ ℕ, онда је

$a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$

У алгебри се ознака за множење подразумева и може се прескочити, па се 3 · a · b може записати и као 3 a b

Инверзна операција множењу је дељење.

Множење бројева

Особине

Множење има приоритет над сабирањем. Множење бројева има следеће особине (за множење других објеката погледати ниже у тексту):

1. $a\cdot 1=1\cdot a=a$	(неутрал)
2. $a\cdot 0=0\cdot a=0$	(сваки број помножен нулом једнак је нули)
3. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	(асоцијативност)
4. $a\cdot b=b\cdot a$	комутативност
5. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	дистрибутивност множења према сабирању

1. На скупу рационалних, реалних и комплексних бројева, сваки број осим нуле има тачно један инверзан број, такав да је њихов производ јединица:

$\forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1$

Инверзан број броја $a$ се записује као ${\tfrac {1}{a}}$. Инверзан број инверзног броја је полазни број:

${\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a$

Множење целих бројева

Приликом множења целих бројева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат је позитиван. Производ позитивног и негативног броја је негативан.

Рационални чиниоци

Главни чланак: Рационалан број

Производ рационалних бројева је рационалан број коме је бројилац производ бројилаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:

$a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$

Ирационални чиниоци

Главни чланак: Реални бројеви

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број, тада је производ a · b гранична вредност

$a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}$

где је ${\tfrac {p}{q}}$ рационалан број и представља приближну вредност броја b.

Множење комплексних бројева

Главни чланак: Комплексни бројеви

Сваки комплексан број z можемо записати као уређени пар или у тригонометријском (поларном) запису:

$z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )$.

Како је $i^{2}=-1$, формула за множење у алгебарском запису гласи

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$.

Из тригонометријских једначина следи формула за множење комплексних бројева у тригонометријском облику:

$\rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))$

Множење вектора

Главни чланак: Вектор

Постоји неколико врста множења вектора: множење вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са „·“, а векторски са „×“.

Посматрајмо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}$.

Множење вектора скаларом

Вектор се множи скаларом тако што се свака његова координата помножи скаларом. Ова операција је комутативна.

$k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})$

Скаларни производ

Скаларни производ вектора је скалар једнак суми производа одговарајућих координата:

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

Скаларни производ је комутативан.

Векторски производ

Векторски производ.

Векторски производ вектора је нови вектор, чији је интензитет једнак површини паралелограма који вектори-чиниоци заклапају, правац му је нормалан на раван коју вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенције. Овај производ је специфичан за $\mathbb {R} ^{3}$, и антикомутативан је. Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:

$\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

где су $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ и $\mathbf {k}$ ортови дуж x, y и z осе, респективно.

Мешовити производ

Запремина паралелепипеда који дефинишу 3 вектора једнака је њиховом мешовитом производу.

Мешовити производ три вектора је скалар који је једнак запремини паралелопипеда који ти вектори заклапају. Записује се као [a, b, c] и по дефиницији је:

$[]:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$

$[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}$

Множење матрица

Главни чланак: Матрица (математика)

Нека су дате матрице А и B величине m_А×n_А и m_B×n_B, респективно. Производ AB је дефинисан ако је n_А = m_B, а добијена матрица има димензије m_А×n_B. Елементи матрице-производа су

$(AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}$

Множење матрица није комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на један начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи неће имати исту величину (5×5 на један и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су такође исте величине, и може се дефинисати комутатор:

$[A,B]=A\times B-B\times A$

Види још

• Дељење
• Степеновање
• Таблица множења
• Линеарна функција
• Египатско множење

Литература

• Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. CS1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза)

Спољашње везе

• Multiplication and Arithmetic Operations In Various Number Systems at cut-the-knot
• Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus