Отворите главни мени

Степеновање је математичка бинарна операција, у запису ab. У овом запису a се назива основа, а b експонент. Чита се „a на b-ти степен“ или краће „a на b“, где је a кардинални, а b редни (ординални) број; на пример, 57 се чита „пет на седми (степен)“.

Ако је n ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом n пута:

Особине степеновањаУреди

Степеновање има виши приоритет од множења. abc значи a(bc), а не (ab)c.

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно (пример:23 = 8 ≠ 32 = 9), нити асоцијативно  .

  1. ac · bc = (a · b)c
  2. ab · ac = ab + c
  3. ab : ac = abc (за a ≠ 0)
  4. (ab)c = ab · c

Последица особине 3 су

  • a0 = abb = ab : ab = 1
  • ab = a0 − b = 1 / ab

чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је природан (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки целобројни експонент.

Степеновање са нецелобројним експонентимаУреди

Рационални експонентУреди

По дефиницији,

 

Нека је експонент b ∈ ℚ рационалан број. Тада се може написати b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, при чему је

 

Како парни коренови негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни   за парно q и негативно a.

Ирационални експонентУреди

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број. Тада је вредност ab дефинисана само за a ∈ ℝ+, као гранична вредност

 

степена ap / q са рационалним експонентима p / q, који теже ка датом експоненту b.

Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је x = aπ, тада је a3,141 < x < a3,142.

Степеновање комплексних бројеваУреди

Како се сваки комплексан број z ∈ ℂ може записати у облику   (видети Ојлерову формулу) то важи

 .

Степеновање матрицаУреди

Степеновање матрица идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.

Инверзне функцијеУреди

Из степеновања се могу извести две функције, у зависности од тога да ли је независна променљива основа или експонент. Први случај даје степену функцију ( ), а други експоненцијалну функцију ( ).

Инверзна функција степеној функцији је корена функција ( ).

Инверзна функција експоненцијалне функције је логаритамска функција ( ).

Види јошУреди