Број е

математичка константа

Број e, познат као Ојлеров број или Неперова константа, основа је природног логаритма и један од најзначајнијих бројева у савременој математици, поред неутрала сабирања и множења 0 и 1, имагинарне јединице број i и броја пи. Осим што је ирационалан и реалан, овај број је још и трансцедентан. До тридесетог децималног места, овај број износи:

График једначине Овдје је e јединствени број већи од 1, што чини осенчену површину једнаком 1.
e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352...

То је основа природних логаритама. То је граница (1 + 1/n)n како се n приближава бесконачности, израз који се јавља у проучавању сложеног интереса. Такође се може израчунати као збир бесконачног низа

То је такође јединствени позитивни број a такав да график функције y = ax има нагиб од 1 на x = 0.

(природна) експоненцијална функција f(x) = ex је јединствена функција f која је једнака сопственом изводу и задовољава једначину f(0) = 1; стога се e такође може дефинисати као f(1). Природни логаритам, или логаритам бази e, је инверзна функција природној експоненцијалној функцији. Природни логаритам броја k > 1 може се директно дефинисати као површина испод криве y = 1/x између x = 1 и x = k, у ком случају је e вредност k за коју је ова површина једнака један (погледајте слику). Постоје разне друге карактеристике.

Број e се понекад назива Ојлеровим бројем (не треба га мешати са Ојлеровом константом ), по швајцарском математичару Леонхарду Ојлеру, или Напијеровом константом, по Џону Напијеру.[1] Константу је открио швајцарски математичар Јакоб Бернули док је проучавао сложену камату.[2][3]

Број e је од великог значаја у математици,[4] поред 0, 1, π и i. Свих пет се појављују у једној формулацији Ојлеровог идентитета и играју важне и понављајуће улоге у математици.[5][6] Као и константа π, e је ирационално (то јест, не може се представити као однос целих бројева) и трансцендентно (то јест, није корен ниједног полинома различитог од нуле са рационалним коефицијентима).[1]

ДефиницијеУреди

Број e се може представити као:

  1. Гранична вредност бесконачног низа:
     
  2. Сума бесконачног низа:
     
    Где је n! факторијел n.
  3. Позитивна вредност која задовољава следећу једначину:
     
    Може се доказати да су наведена три исказа еквивалентна.
  4. Овај број се среће и као део Ојлеровог идентитета:
     

ИсторијаУреди

Прве референце на константу објављене су 1618. године у табели додатка дела о логаритмима Џона Напијера. Међутим, ово није садржало саму константу, већ једноставно листу логаритама за основу  . Претпоставља се да је табелу написао Вилијам Оутред.[3]

Откриће саме константе приписује се Јакобу Бернулију 1683,[7][8] који је покушао да пронађе вредност следећег израза (који је једнак e):

 

Прва позната употреба константе, представљене словом b, била је у преписци Готфрида Лајбница са Кристијаном Хајгенсом 1690. и 1691. године.[9] Леонхард Ојлер је увео слово e као основу за природне логаритме, пишући у писму Кристијану Голдбаху 25. новембра 1731.[10][11] Ојлер је почео да користи слово e за константу 1727. или 1728. године, у необјављеном раду о експлозивним силама у топовима,[12] док је прво појављивање e у једној публикацији било у Ојлеровој Механици (1736).[13] Иако су неки истраживачи користили слово c у наредним годинама, слово e је било чешће и на крају је постало стандардно.

РеференцеУреди

  1. ^ а б Weisstein, Eric W. „e”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-10. 
  2. ^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (illustrated изд.). Sterling Publishing Company. стр. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9.  Extract of page 166
  3. ^ а б O'Connor, J J; Robertson, E F. „The number e. MacTutor History of Mathematics. 
  4. ^ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics . Holt, Rinehart & Winston. ISBN 978-0-03-029558-4. 
  5. ^ Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (illustrated изд.). Oxford University Press. стр. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9. 
  6. ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (illustrated изд.). Prometheus Books. стр. 68. ISBN 978-1-59102-200-8. 
  7. ^ Jacob Bernoulli considered the problem of continuous compounding of interest, which led to a series expression for e. See: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), in the year (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (This is a problem of another kind: The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?) Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if a=b, [the lender] will be owed more than 2½a and less than 3a.) If a=b, the geometric series reduces to the series for a × e, so 2.5 < e < 3. (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the Journal des Sçavans of 1685 at the bottom of page 314.)
  8. ^ Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of Mathematics  (2nd изд.). Wiley. стр. 419. ISBN 978-0-471-54397-8. 
  9. ^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). „Sämliche Schriften Und Briefe” (PDF) (на језику: немачки). »look for example letter nr. 6« 
  10. ^ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the 18th century), vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56–60, see especially p. 58. From p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denotes that number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is equal to 1) … )
  11. ^ Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. стр. 136. ISBN 978-0-387-97195-7. 
  12. ^ Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (English: Written for the number of which the logarithm has the unit, e, that is 2,7182817...")
  13. ^ Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Russia: Academy of Sciences, 1736), vol. 1, Chapter 2, Corollary 11, paragraph 171, p. 68. From page 68: Erit enim   seu   ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (So it [i.e., c, the speed] will be   or  , where e denotes the number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is 1.)

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди