Ојлеров идентитет

Ојлеров идентитет[n 1] је у математици назив за формулу:

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број је Ојлеров број (база природног логаритма), имагинара јединица комплексних бројева, а угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била , једначина важи и за .

За угао добија се идентитет

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве , , , 1, и 0 (нула), основне математичке радње, сабирање, множење и степеновање, и најважнију релацију =, и ништа више.

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента прво дефинисала експоненцијална функција:

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва методаУреди

Посматрамо функцију:

 

Именилац никада није нула, јер важи:

 

Ојлеров идентитет тврди да је   за све вредности  .

Прво доказујемо да је функција   константна, односно да је њен извод   за све  :

Знамо да је извод од  :

 

Следи:

   
 
 

  значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то  :

 

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга методаУреди

Друга метода се користи редовима за  ,   и  . Знамо да ове три функције можемо написати као:

 
 
 

Из тога следи да   можемо поделити:

 

За   добијамо  , што је наш тражени резултат.

НапоменеУреди

  1. ^ Термин „Ојлерова идентичност” (или „Ојлеров идентитет”) такође се другде користи за означавање других концепата, укључујући сродну општу формулу eix = cos x + i sin x,[1] и формулу Ојлеровог продукта.[2]

РеференцеУреди

  1. ^ Dunham, 1999, p. xxiv.
  2. ^ Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Приступљено 7. 9. 2018. 

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди