Definicije neprekidnosti

Košijeva definicija

Ilustrovani prikaz Košijeve ε - δ definicije neprekidnosti. Za npr. ε=0.5, c=2, vrednost δ=0.5 zadovoljava uslov definicije.

Definiciju na $\varepsilon -\delta$ jeziku je dao Koši i ta definicija je vezana je za funkcije realnih brojeva.

Posmatrajmo funkciju $f:X\rightarrow \mathbb {R} ,X\subseteq \mathbb {R}$. Neka je $x_{0}\in X$ tačka nagomilavanja skupa $X$.

Funkcija $f$ je neprekidna u tački $x_{0}$, ako je:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon )$

Ova definicija je ekvivalentna sa:

Funkcija $f$ je neprekidna u tački $x_{0}$, ako je:

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Hajneova definicija

Ovom definicijom neprekidnu funkciju je Hajne dao preko granične vrednosti niza.

Realna funkcija $f$ je neprekidna ako za svaki niz $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, takav da

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=L$,

važi

$\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(L)$

Ovde smo naravno pretpostavili da svaki član niza pripada domenu funkcije.

Topološka definicija

Funkcija $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ je neprekidna u tački $x_{0}\in X$ ako:

$(\forall V\in {\mathcal {V}}(f(x_{0})))(\exists U\in {\mathcal {V}}(x_{0}))(f(U\cap X)\subseteq V)$

Za funkciju između dva topološka prostora se kaže da je neprekidna ako ona svaki otvoreni inverzni skup preslikava u otvoreni skup.

Definicija neprekidnosti sa strane

Funkcija neprekidna s desne strane

Posmatrajmo funkciju $f:X\rightarrow \mathbb {R}$,

funkcija je neprekidna sa leve strane u tački $x_{0}$ ako

$\lim _{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$

funkcija je neprekidna sa desne strane u tački $x_{0}$ ako

$\lim _{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})$

Teorema: Funkcija $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ je neprekidna u tački $x_{0}\in X$ ako i samo ako je neprekidna u toj tački i sa leve i sa desne strane.

Vidi još

• Neprekidna funkcija
• Neprekidnost
• Definicija

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.