Dirihleov princip

Dirihleov princip izražava jednu od osobina konačnih skupova, a koristi se za dokaz postojanja objekta sa određenim svojstvom. Ne daje se konstrukcija rešenja, već samo dokazuje njegova egzistencija.

Šaljivi pristup

Priča o Dirihleovom principu često počinjena na šaljiv način sa razvrstavanjem zečeva u kaveze, razmeštanjem predmeta u kutije i sl, da bi se došlo do matematičke definicije ovog principa.

Ako imamo 6 zečeva i 5 kaveza i sve zečeve razmestimo u te kaveze, onda mora postojati kavez u kome će biti bar 2 zeca. Dokaz je jednostavan i izvodi se obaranjem pretpostavke: Pretpostavimo da ne postoji kavez u kome su bar 2 zeca.

Tada je u svakom od kaveza najviše po 1 zec, tako da nema više od 1•5=5 zečeva, a to se protivureči pretpostavi da ih je 6. Dakle, postoji kavez u kome su bar 2 zeca.

Definicije principa

Dirihleov princip se može definisati kao „princip kutija“: Ako su k+1 ili više predmeta smešteni u k kutija, tada postoji kutija u kojoj su bar 2 predmeta.

To je „slaba forma“ ovog principa.

Takozvana „jaka forma“ Dirihleovog principa glasi: Ako je m predmeta raspoređeno u n kutija, tada bar jedna kutija sadrži bar ⌊(m-1)/n⌋+1 predmeta. ⌊a⌋ označava celi deo broja a. Dokazi ovih stavova se neće ovde iznositi. Strogo formalno, Dirihleov princip glasi: Ako su A i B konačni skupovi i |A| > |B|, onda ne postoji 1-1 preslikavanje skupa A na skup B. ( |A| je broj elemenata skupa A ). Drugim rečima, postoji bar jedan element skupa B koji je slika bar 2 elementa iz skupa A.

Logički zadaci i Dirihleov princip

Matematičke zadatke za učenike osnovnih i srednjih škola ponekad je teško razvrstati na geometrijske, aritmetičke, algebarske i sl., pa se onda oni proglasavaju logičkim, kombinatornim. Najčešće takvi zadaci budu i najteži za rešavanje i služe za razvijanje logičkog razmišljanja. Često ih prati pitanje : a gde je tu matematika? Zadaci tog tipa koji se mogu rešiti pomoću Dirihleovog principa ne zahtevaju neko posebno matematičko znanje, ali je za njihovo rešavanju potrebna određena veština i iskustvo u uočavanju predmeta posmatranja i svojstava koji oni poseduju.

Primenjivost

Princip je primenljiv kako u aritmetici, tako i u geometriji i drugim oblastima matematike, najčešće za nivo učenika osnovnih i srednjih škola. Na matematičkim takmičenjima tog nivoa često se sreću zadaci koji se ovom metodom efikasno rešavaju, a javljaju se počev od takmičenja učenika osnovnih škola do međunarodnih matematičkih olimpijada za srednjoškolce.

Primeri takmičarskih zadataka

Sledi nekoliko primera različite težine i za različite uzraste sa kratkim uputstvom za rešavanje : 1.U unutrašnjosti jednakostraničnog trogla stanice 1 cm dato je 5 tačaka. Dokazati da postoje dve od njih na rastojanju manjem od 0.5 cm. (Uputstvo : Podeliti trougao na 4 disjunktna jednakostranična trogla.) 2.Opštinsko takmičenje (2016. 6. razred ): Da li se kvadratna tabla 3 × 3 može popuniti brojevima –3, 0, 3 tako da zbir brojeva u svakoj koloni, vrsti i dijagonali bude različit? (Uputstvo : Mogući zbirovi su : -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9 , a ima ukupno 8 vrsta, kolona i dijagonala ) 3.14. međunarodna matematička olimpijada srednjoškolaca(1972) Dokazati da se iz skupa od bilo kojih 10 različitih dvocifrenih prirodnih brojeva mogu izabrati dva disjunktna podskupa takva da su zbirovi brojeva iz oba podskupa jednaki. (Uputstvo : Nepraznih disjunktnih podskupova ima 2^10 -1 = 1023 a zbir brojeva u svakom podskupu je < 99•10 =990) 4.Neka je A skup od 2k+1 realnih brojeva iz intervala (1, 2^k). Dokazati da postoje 3 broja iz tog skupa koji su dužine stranica nekog trougla. ( Ideja : (1,2^k) =∪(2^j,2^(j+1) ) ,j=0 do k-1 ).

Literatura

• Courant, R. (1950), Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience 
• Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0772-9. 
• Weisstein, Eric W. „Dirichlet's Box Principle”. MathWorld. 

Spoljašnje veze

• „Društvo matematičara Srbije”. dms.rs (na jeziku: srpski). Pristupljeno 25. 2. 2017.