Inverzna funkcija

U matematici, ako funkcija ƒ preslikava skup A na skup B, onda je njena inverzna funkcija ƒ^-1 takva da preslikava skup B na skup A i to tako da složena funkcija $f\circ f^{-1}$ preslikava svaki element skupa A na samog sebe. Nema svaka funkcija svoju inverznu, ona koja ima se zove inverzibilna.

Npr., ako je data funkcija ƒ takva da daje dužinu u miljama ako je data dužina u metrima (ƒ(x) = 1,6 · x), onda njena inverzna funkcija g = ƒ^-1 daje dužinu u metrima ako je poznata dužina u miljama (g(x) = x / 1,6).

Inverzibilnost

Kako funkcija mora da preslikava original u samo jednu sliku, to funkcija koja nije injektivna ne može imati inverznu.
S druge strane, ako se opseg funkcije nije identičan njenom kodomenu, onda za neke elemente skupa-slike neće biti definisano preslikavanje ƒ^-1.

Zato možemo reći da je funkcija inverzibilna akko je bijekcija.

Surjektivno ali neinjektivno preslikavanje
Injektivno ali nesurjektivno preslikavanje
Bijekcija

Npr. fukcija $f(x)=x^{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ nije ni injektivna (jer pozitivni i negativni brojevi imaju istu sliku), ni surjektivna (jer je rang $\mathbb {R} ^{+}$ , a ne čitav kodomen $\mathbb {R}$ ). Ista funkcija, ali definisana kao $\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ ima inverznu funkciju ${\sqrt {x}}$ . Funkcija $f(x)=x^{3}\,\!$ ima inverznu, a $f(x)=x^{3}-x\,\!$ nema jer nije injektivna ( $f(0)=f(1)=0\,\!$ ).

Osobine

Simetrija

Neka je id funkcija identiteta id_X = x. Tada važi

{\begin{aligned}f\circ f^{-1}=id_{X}\\f^{-1}\circ f=id_{Y}\end{aligned}}

odnosno $(f^{-1})^{-1}=f\,\!$ .

Inverzna funkcija složene funkcije

Pri inverziji kompozicije funkcija, osnovne funkcije menjaju redosled:

(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}

Autoinverzija

Funkcija identiteta je inverzna sama sebi:

id_{X}^{-1}=id_{X}\,\!

Grafičko predstavljanje

Funkcija i njena inverzna funkcija su simetrične u odnosu na pravu $y=x\,\!$ .

Izvod inverzne funkcije

Ako je početna funkcija diferencijabilna, onda se za sve tačke u kojima $f(x)\neq 0\,\!$ važi sledeća formula za izvod inverzne funkcije:

{\frac {d}{dy}}\left[f^{-1}(y)\right]={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.

Obeležavanje

Važno je uočiti da ^-1 u označavanju inverzne funkcije nije oznaka za eksponent. Zapravo ${\tfrac {1}{f(x)}}$ se zapisuje kao ƒ(x)^-1.

U infinitezimalnom računu oznaka ƒ⁽ⁿ⁾ označava n-ti izvod funkcije:

f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).

U trigonometriji, iz istorijskih razloga, $\sin ^{2}x=(\sin x)^{2}\,\!$ a ne $\sin(\sin x)\,\!$ , ali je $\sin ^{-1}x=\arcsin x\,\!$ , a ne ${\tfrac {1}{\sin x}}$ . Upravo da bi se izbegla ova nepreciznost, za inverzne trigonometrijske funkcije koristi se oznaka arc, a za recipročne potpuno druga imena ( ${\tfrac {1}{\sin x}}=\csc x$ ). .

Literatura

Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd izd.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
Stewart, James (2002), Calculus (5th izd.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397