Isključiva disjunkcija

Venov dijagram za $~A\oplus B$ ali nije

Venov dijagram za $~A\oplus B\oplus C$ $~\oplus ~$ $~\Leftrightarrow ~$

Logički operator isključiva disjunkcija, takođe poznata kao isključivo ILI, ekskluzivna disjunkcija i obeležavana kao EKSILI (eng. XOR) ili ⊕, je vrsta logičke disjunkcije nad dva operanda, čiji je rezultat tačan samo ako jedan od iskaza ima vrednost tačan.

Drugačije rečeno, isključiva disjunkcija je logička operacija nad dve logičke vrednosti, koji daje vrednost tačan samo u slučajevima kada se vrednosti operanda razlikuju.

Tabela istinitosti

Tabela istinitosti za $~A\oplus B$ (takođe se piše kao $A\,\mathrm {XOR} \,B$ ili $A\neq B$) je sledeća:

ULAZ		IZLAZ
A	B	A EKSILI B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Ekvivalenti, eliminacija i uvođenje

Sledeći ekvivalenti mogu biti izvedeni, napisani sa logičkim operatorima, u matematičkoj i inženjerskoj notaciji:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)&=&p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\\\&=&(p\lor q)&\land &(\lnot p\lor \lnot q)&=&(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\\\&=&(p\lor q)&\land &\lnot (p\land q)&=&(p+q)({\overline {pq}})\end{matrix}}$

Isključiva disjunkcija $p\oplus q$ može da se izrazi kao logička konjunkcija ($\wedge$), disjunkcija ($\lor$) i negacija ($\lnot$) na sledeći način:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}$

Isključiva disjunkcija $p\oplus q$, takođe, može da se izrazi na sledeći način:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}$

Ponekad je korisno da se $p\oplus q$ piše na sledeći način:

${\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}$

Alternativni simboli

Simboli za isključivu disjunkciju zavise od njegove upotrebe, i od svojstva koji su istaknuti u datom kontekstu. Pored skraćenice EKSILI, bilo koji od sledećih simbola se mogu koristiti:

• Znak plus ($+$). U matematici, isključiva disjunkcija odgovara sabiranju po modilu 2, koja ima sledeću tabelu sabiranja:

Sabiranje po modulu 2

$p$	$q$	$p+q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

• Upotreba znaka plus ima dodatnu prednost u tome što se algebraska svojstva matematičkog prstena i polja mogu koristiti bez dodatnih poteškoći.

• Zaokružen znak plus ($\oplus$).

• Simbol uključiva disjunkcija ($\lor$), promenjena na neki način, kao što je podvučeno (${\underline {\lor }}$) i sa tačkom iznad (${\dot {\vee }}$).

Svojstva

Ovaj odeljak koristi sledeće simbole:

${\begin{matrix}0&=&{\mbox{false}}\\1&=&{\mbox{true}}\\\lnot p&=&{\mbox{not}}\ p\\p+q&=&p\ {\mbox{xor}}\ q\\p\land q&=&p\ {\mbox{and}}\ q\\p\lor q&=&p\ {\mbox{or}}\ q\end{matrix}}$

Sledeće jednačine slede iz logičke aksiome:

${\begin{matrix}p+0&=&p\\p+1&=&\lnot p\\p+p&=&0\\p+\lnot p&=&1\\\\p+q&=&q+p\\p+q+p&=&q\\p+(q+r)&=&(p+q)+r\\p+q&=&\lnot p+\lnot q\\\lnot (p+q)&=&\lnot p+q&=&p+\lnot q\\\\p+(\lnot p\land q)&=&p\lor q\\p+(p\land \lnot q)&=&p\land q\\p+(p\lor q)&=&\lnot p\land q\\\lnot p+(p\lor \lnot q)&=&p\lor q\\p\land (p+\lnot q)&=&p\land q\\p\lor (p+q)&=&p\lor q\end{matrix}}$

Asocijativnost i komutativnosti

Sa izomorfizmičke tačke gledišta između sabiranja po modula 2 i isključive disjunkcije, jasno je da je EKSILI i asocijativna i komutativna operacija. Tako se zagrada može izostaviti u uzastopnim operacijama ne praveći razliku u rezultatu. Na primer, imamo sledeće jednačine:

${\begin{matrix}p+q&=&q+p\\\\(p+q)+r&=&p+(q+r)&=&p+q+r\end{matrix}}$

Računarstvo

Operatori nad bitovima

EKSILI logička kapija

Isključiva disjunkcija se često koristi u operatorima nad bitovima. Primeri:

• 1 eksili 1 = 0
• 1 eksili 0 = 1
• 0 eksili 0 = 0
• 1110 eksili 1001 = 0111