Krivolinijski integral

Krivolinijski integral je integral za čiju se oblast integracije uzima određena kriva, najčešće definisana u ravni ili prostoru. Za razliku od običnog određenog integrala, za čiju se oblast integraljenja uzima određeni pravougaoni segment prostora, krivolinijski integral omogućava izračunavanje integrala u kojem domen funkcije predstavljaju tačke određene glatke (ili deo-po-deo glatke) krive. U matematici se definišu krivolinijski integrali prve i druge vrste. U fizici krivolinijski integrali drugog reda imaju primjenu u izračunavanju rada koji čini neka sila po datoj krivoj.

Krivolinijski integral prve vrste

uredi
 
Krivolinijski integral prve vrste

Ako sa   označimo funkciju čiji integral računamo, a sa   označimo datu krivu, krivolinijski integral prve vrste se obilježava na sljedeći način:

 .

Ukoliko jedan kraj krive   označimo sa  , a njen drugi kraj sa  , krivolinijski integral prve vrste se obilježava još i sa:

 .

Definicija

uredi

Neka je kriva   zadata parametarski na intervalu  :

 .

Neka je na toj krivoj, odnosno na skupu tačaka koje je sačinjavaju, definisana funkcija  .

Možemo formirati podjelu intervala   na   dijelova, u sljedećim oznakama:

 .

Na svakom segmentu   možemo izabrati po jedno  , od kojih svako parametarski određuje po jednu tačku  , gdje je  . Sa   ćemo označiti dužinu krive na segmentu  . Tada imamo sljedeću oznaku:

 

Jasno je da će za različite podjele intervala gornji izraz imati različite vrijednosti. Nas zanima slučaj kada   teži nuli, tj. kada je podjela intervala   „beskonačno gusta“. Na taj način uvodimo pojam krivolinijskog integrala prve vrste: ako postoji neki broj  , takav da za svako   postoji određeno   tako da:

 ,

taj broj   nazivaćemo krivolinijskim integralom prve vrste funkcije   na krivoj  . Zapisuje se kao što je dato u uvodu teksta. Kriva integracije se naziva još i lukom integracije.

Osobine

uredi

Krivolinijski integral prve vrste dijeli neke od osnovnih osobina sa običnim određenim integralom.

  1.  ,
  2. Ako je za svaku tačku domena tačno:  , onda važi i:  ,
  3.  ,
  4.  , ako se tačka   nalazi između tačaka   i  .

Suprotno krivolinijskom integralu druge vrste, kod kojeg postoji pojam orijentacije, za krivolinijski integral prve vrste važi sljedeće:

 .

Računanje

uredi

Krivolinijski integral prve vrste, u skladu sa oznakama iz odjeljka „Definicija“, izračunava se pomoću sljedeće formule:[1]

 

Uslovi za korišćenje ove formule su da je funkcija   neprekidna i ograničena na krivoj   i da je kriva   glatka i bez singularnih tačaka. Formula važi i u slučajevima kada je kriva dio-po-dio glatka i funkcija dio-po-dio neprekidna.[2]

Krivolinijski integral druge vrste

uredi
 
Krivolinijski integral druge vrste

Definicija

uredi

Neka je kriva   zadata parametarski na intervalu  :

 .

Neka su na toj krivoj, odnosno na skupu tačaka koje je sačinjavaju, definisane funkcije   i  .

Možemo formirati podjelu intervala   na   dijelova, u sljedećim oznakama:

 .

Na svakom segmentu   možemo izabrati po jedno  , od kojih svako parametarski određuje po jednu tačku  , gdje je  . Sa   ćemo označiti razliku  , i analogno   i   Tada imamo sljedeće oznake:

 
 
 

U narednon tekstu govorićemo o  , imajući na umu da važe analogne oznake i za   i  . Jasno je da će za različite podjele intervala gornji izraz   imati različite vrijednosti. Nas zanima slučaj kada   teži nuli, tj. kada je podjela intervala   „beskonačno gusta“. Na taj način, ako postoji neki broj  , takav da za svako   postoji određeno   tako da:

 ,

taj broj   nazivaćemo krivolinijskim integralom druge vrste funkcije   na krivoj  . Zapisuje se na sljedeći način:

 , ili samo:
 .

Analogno se definišu integrali   i  . Najčešće se posmatraju zbirovi ovih integrala:

 ,

koji se obično obilježavaju kao:

 . (1)

Ako usvojimo oznaku vektorske funkcije  , odnosno  , tada oznaku (1) nazivamo (opštim) krivolinijskim integralom drugog reda funkcije  .

U slučaju da je kriva   zatvorena, tj. da je  , govorimo o cirkulaciji i definisani integral obilježavamo sa:

 ,

premda ovo nije obavezno sresti u literaturi, jer se ponekad smatra suvišnim.[3]

Osobine

uredi

Za razliku od krivolinijskog integrala prvog reda, kod kojeg ne postoji pojam orijentacije i kod kojeg važi osobina:

 ,

kod krivolinijskog integrala drugog reda važi osobina:

 .

Ova osobina nastaje kao posljedica definicije krivolinijskog integrala i činjenice da je  . Na taj način, nije svejedno da li integracije vršimo u jednom ili drugom smjeru krive, a tu osobinu integrala drugog reda nazivamo orijentabilnošću, odnosno orijentacijom krive.

Računanje

uredi

Formula za izračunavanje vrijednosti krivolinijskog integrala drugog reda funkcije   (analogno za  , u skladu sa oznakama u pododjeljku „Definicija“ ovog odjeljka) jeste sljedeća:[4]

 

Formula važi ukoliko je funkcija   neprekidna na krivoj  , a kriva   glatka i bez singularnih tačaka. Ona takođe važi ukoliko je pomenuta kriva dio-po-dio glatka, a funkcija   dio-po-dio neprekidna.[5]

U slučaju zatvorene dvodimenzionalne krive, tj. krive smještene u ravni, i pod određenim uslovima, krivolinijski integral druge vrste može se računati i koristeći Grinovu teoremu.

Nezavisnost integracije od putanje

uredi

Jasno je da će u opštem slučaju vrijednost krivolinijskog integrala drugog reda zavisiti od oblika krive integracije  , tj. njene „putanje“. Ponekad to, međutim, nije tako i vrijednost integrala će zavisiti samo od početne i krajnje tačke, a biti potpuno nezavisna od međutačaka, tj. od oblika krive. Naime, važi sljedeća teorema, koja ima svoje primjene u nauci i tehnici:[6]

Sljedeći iskazi su ekvivalentni:

  • Za vektorsku funkciju   postoji funkcija  , takva da je  
  • Krivolinijski integral   ne zavisi od putanje, nego samo od tačaka   i  . Vrijednost integrala u tom slučaju biće  
  • Cirkulacija   po proizvoljnoj zatvorenoj putanji je jednaka nuli.

Vidi još

uredi

Reference

uredi
  1. ^ Adnađević i Kadelburg 1998, pp. 185.
  2. ^ Adnađević i Kadelburg 1998, pp. 186.
  3. ^ Škola matematike Univerziteta u Minesoti: Vektorska analiza i funkcije više promjenljivih, Pristupljeno 9. 4. 2013.
  4. ^ Adnađević i Kadelburg 1994, pp. 189.
  5. ^ Adnađević i Kadelburg 1994, pp. 190.
  6. ^ Adnađević i Kadelburg 1994, pp. 193.

Literatura

uredi
  • Adnađević, Dušan; Kadelburg, Zoran (1994). Matematička analiza II, drugo izdanje. Nauka, Beograd. 

Spoljašnje veze

uredi