Kupa (geometrija)

Kupa (ili konus) je geometrijsko telo. Može se definisati kao geometrijsko mesto tačaka koje čini sve duži između elipse, koja se nalazi u jednoj ravni, i tačke, koja se nalazi izvan te ravni. Ova elipsa se još naziva baza kupe, a tačka njeno teme.

Prava (levo) i kosa kružna kupa (desno)

Prava koja prolazi kroz teme i centar baze kupe se naziva njenom osom. Ukoliko je ova prava i normalna na bazu kupe, kupa se naziva pravom. U suprotnom se radi o kosoj kupi.

Rastojanje između temena kupe, i njegove projekcije na ravan baze kupe se naziva visinom kupe.

Svaka duž koja spaja teme i neku od ivičnih tačaka baze se naziva izvodnicom kupe. Kod prave kupe sve izvodnice imaju jednaku dužinu dok kod kose kupe postoje najviše dve izvodnice sa istom dužinom.

Primer:

Odrediti poluprečnik prave kupe, ako visina kupe iznosi 8 cm, a izvodnica 10 cm.

Rešenje:

Prema Pitagorinoj teoremi za pravu kupu važi:

$s^{2}=r^{2}+h^{2}$

$r^{2}=s^{2}-h^{2}$

$r^{2}=10^{2}cm^{2}-8^{2}cm^{2}$

$r^{2}=100cm^{2}-64cm^{2}=36cm^{2}$

$r=6cm$

Površina kupe

Površina kupe se uvek računa kao zbir površina njenog omotača i njene baze. Omotač kupe je skup svih duži koje spajaju teme kupe sa ivicom osnovice kupe. U slučaju da je baza krug, njegova ivica bi bila kružnica.

Površina prave kružne kupe

Razmotavanjem omotača prave kupe se može ustanoviti da se radi o odsečku kruga, koji za poluprečnik ima dužinu s izvodnice kupe. Pokriveni ugao se prema punom krugu (tj. 2π) odnosi kao obim baze kupe prema obimu kruga sa poluprečnikom s, što bi dalo sledeći izraz:

$P_{o}=s^{2}\pi \cdot {\frac {2\pi r}{2\pi s}}=s^{2}\pi \cdot {\frac {r}{s}}=rs\pi$

kružni isječak

Isti rezultat možemo dobiti i na sljedeći način.

Razmotavanjem omotača prave kupe dobija se isječak kruga poluprečnika s sa centralnim uglom θ. Kada je centralni ugao u radijanima, površina i dužina luka kružnog isječka su

$I={\frac {1}{2}}\theta s^{2},\ l=\theta s.$

Smotan u kupu, luk isječka postaje kružnica obima 2rπ, pa imamo

$\theta s=2r\pi \ \Rightarrow \ \theta ={\frac {2r\pi }{s}},$

što uvrštavanjem u izraz za površinu kružnog isječka daje

$I={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2r\pi }{s}}\cdot s^{2}=rs\pi =P_{o}.$

Površina baze je površina kruga poluprečnika r, što iznosi P_b = r²π. Zbir ove dve vrednosti daje površinu kupe:

$P=P_{o}+P_{b}=rs\pi +r^{2}\pi =r\pi (s+r)$

Primjer 1. Odrediti površinu prave kupe ako je površina njenog omotača $M=10\pi cm^{2}$ , a dužina poluprečnika 3 cm.

Rješenje: Površina prave kupe je jednaka zbiru površine baze i površine omotača:

$P=B+M=r^{2}\pi +M=3^{2}cm^{2}+10\pi cm^{2}=19\pi cm^{2}$

Primjer 2. Visina prave kupe je h. Naći površinu kupe, ako je njen omotač u razvijenom obliku kružni isječak sa centralnim uglom θ = 120°.

Rješenje: Dati centralni ugao izražen u radijanima je

$\theta =120^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}={\frac {2\pi }{3}}.$

Dužina luka isječka i obim baze kupe su jednaki, tj.

$\theta s=2r\pi \ \Rightarrow \ r={\frac {s}{3}}.$

Pitagorina teorema dalje daje

$h^{2}=s^{2}-r^{2}$

$=s^{2}-\left({\frac {s}{3}}\right)^{2}$

$={\frac {8}{9}}s^{2},$

te je

$s^{2}={\frac {9}{8}}h^{2},\ r^{2}={\frac {1}{8}}h^{2}.$

Inače, površina kružnog isječka poluprečnika s, ovdje omotača (P_o) kupe, i površina baze (P_b) kupe su

$P_{o}={\frac {1}{2}}\theta s^{2},\ P_{b}=r^{2}\pi ,$

Pa je površina kupe u ovom primeru:

$P=P_{o}+P_{b}$

$={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2\pi }{3}}\cdot {\frac {9}{8}}h^{2}+{\frac {1}{8}}h^{2}\pi$

$={\frac {\pi }{2}}h^{2}.$

Zapremina kupe

Zapremina kupe se uvek može predstaviti kao trećina proizvoda površine njene baze sa rastojanjem temena od ravni u kome se nalazi baza. Ovo rastojanje se još zove i visina kupe.

$V={\frac {1}{3}}P_{b}h$

Primer može biti kružna kupa kod koje je P_b = r²π. Iz prethodnog izraza sledi da je zapremina ove kupe:

$V={\frac {1}{3}}P_{b}h={\frac {1}{3}}r^{2}\pi h$

Zapremina kose i prave eliptične kupe se razlikuje samo u bazi:

$V={\frac {1}{3}}P_{b}h={\frac {1}{3}}ab\pi h$

Primjer. Površina prave kupe je P. Izvodnica je nagnuta prema ravni osnove pod uglom φ. Izračunati zapreminu kupe.

Rješenje: Poluprečnik baze kupe i visina kupe izraženi pomoću izvodnice i ugla nagiba su

$r=s\cos \varphi ,\ h=s\sin \varphi .$

Površina i zapremina kupe, izražene na isti način su

$P=r(s+r)\pi =s^{2}\pi \cos \varphi (1+\cos \varphi ),$

$V={\frac {1}{3}}r^{2}\pi h={\frac {1}{3}}s^{3}\pi \cos ^{2}\varphi \sin \varphi .$

Iz prve jednakosti izrazimo s i uvrstimo u drugu

$V={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {P{\sqrt {P}}}{\sqrt {\cos \varphi (1+\cos \varphi )}}}\cdot {\frac {\cos \varphi \sin \varphi }{1+\cos \varphi }}.$

Spoljašnje veze

• Obrtna tijela
• Stereometrija