Lagranžova teorema

Lagranžova teorema (engl. mean value theorem) je jedna od osnovnih teorema diferencijalnog računa i uopšte matematičke analize.^[1]^[2] Često se još naziva i teorema o srednjoj vrednosti diferencijalnog računa.

Formulacija

Ako je funkcija f:

neprekidna na zatvorenom intervalu $\,[a,b]$ , i
diferencijabilna na otvorenom intervalu $\,(a,b)$ ,

onda postoji tačka $\,c$ iz intervala $\,(a,b)$ , takva da je:^[3]

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)

Dokaz 1^[4]

Posmatrajmo funkciju

h(x)=f(x)+\lambda x

.

I ona je neprekidna na $\,[a,b]$ i diferencijabilna na $\,(a,b)$ . Odredimo $\lambda$ za koje funkcija $\,h(x)$ zadovoljava uslove Rolove teoreme.

Dakle, da bi bilo $\,h(a)=h(b)$ , mora biti:

\lambda =-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.

Tada, po uslovima Rolove teoreme, postoji tačka $\,c$ iz intervala $\,(a,b)$ , takva da je:

0=h'(c)=f'(c)+\lambda ,

te je

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.

Dokaz 2

Posmatrajmo funkciju

h(x)=f(x)-f(a)-({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}})(x-a)

Kako je funkcija $f$ neprekidna i diferencijablna na intervalu $[a,b]$ , odnosno $(a,b)$ , i funkcija $h$ je neprekidna i diferencijabilna na istim intervalima. Šta više, $h(a)=h(b)=0$ , što znači da na funkciju $h$ možemo primeniti Rolovu teoremu.

Prvi izvod funkcije $h$ je:

h'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

Prema Rolovoj teoremi sada sledi da postoji tačka $c$ , takva da je $f'(c)=0$ , tj.

0=h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

,

odnosno:

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

,

što je i trebalo da se pokaže.

Geometrijska interpretacija

Geometrijska interpretacija: Za bilo koju funkciju neprekidnu na [a, b] i diferencijabilnu na (a, b), postoji tačka c iz intervala (a, b) u kojoj je tangenta (tangent) paralelna sa sečicom (secant) koja povezuje krajeve intervala [a, b].

Geometrijski značaj ove teoreme se sastoji u tome da pod datim uslovima postoji tangenta krive $\,y=f(x)$ u nekoj tački $\,c$ , koja pripada zatvorenom intervalu $\,(a,b)$ , paralelna sa sečicom koja prolazi kroz tačke $\,A=(a,f(a))$ i $\,B=(b,f(b)).$

Mehanička interpretacija

Ako se tačka kreće po zakonu $\,x=x(t)$ , gde je $x(t)$ neprekidna na $[a,b]$ i diferencijablna na $(a,b)$ , onda postoji trenutak $\,t_{0}$ u kom je trenutna brzina $x'(t_{0})$ jednaka srednjoj brzini na intervalu $[a,b]$ , koja iznosi $\,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ , upravo jer postoji to $\,t_{0}$ kada je: $\,f'(t_{0})={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Posledice i napomene

Kao ni Rolova teorema, ni Lagranžova teorema nam ne daje informaciju o konstrukciji tačke $\,c$ , kao ni o broju takvih tačaka.
Takođe, posledica Lagranžove teoreme je i sledeće: Ako je za svako $\,x$ iz zatvorenog intervala $\,[a,b]$ , $\,f'(x)=0$ , onda je funkcija $\,f$ konstantna na zatvorenom intervalu $\,[a,b]$ .
Lagranžova teorema se može posmatrati kao uopštenje Rolove teoreme. Naime, za $\,f(a)=f(b)$ , dobijamo funkciju koja ispunjava sve uslove Rolove teoreme.
Dva važna uopštenja Lagranžove formule, tj. teoreme, su Košijeva teorema i Tejlorova teorema.

Vidi još

Reference

^ Matematička analiza, (Prof. Dr Svetozar Kurepa), prvi dio - diferenciranje i integriranje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975.
^ Viša matematika I (akademik Radivoje Kašanin), četvrto izdanje, Zavod za izdavanje udžbenika SRBiH, Sarajevo, 1969.
^ Eric, Weisstein. „Mean-Value Theorem”. MathWorld. Wolfram Research. Pristupljeno 24. 3. 2011.
^ "Matematička analiza 1", (Prof. Dr Dušan Adnađević, Prof. Dr Zoran Kadelburg), Studentski trg, Beograd, 1995.

[1] Matematička analiza, (Prof. Dr Svetozar Kurepa), prvi dio - diferenciranje i integriranje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975.

[2] Viša matematika I (akademik Radivoje Kašanin), četvrto izdanje, Zavod za izdavanje udžbenika SRBiH, Sarajevo, 1969.

[mathworld-3] Eric, Weisstein. „Mean-Value Theorem”. MathWorld. Wolfram Research. Pristupljeno 24. 3. 2011.

[4] "Matematička analiza 1", (Prof. Dr Dušan Adnađević, Prof. Dr Zoran Kadelburg), Studentski trg, Beograd, 1995.

[1]

[2]

[3]

[4]