Logaritamska spirala

Logaritamska spirala, jednakougaona spirala, ili rastuća spirala je samoslično spiralna kriva koja se obično pojavljuje u prirodi. Dekart je prvi koji je opisivao logaritamsku spiralu, a kasnije je Jakob Bernuli detaljnije proučio i nazvao je Spira mirabilis, čudesna spirala.

Definicija uredi

U polarnim koordinatama $(r,\theta )$ logaritamska kriva je zapisivana kao:

$r=ae^{b\theta }\,$

ili

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

gde je $e$ osnova prirodnih logaritama, a $a$ i $b$ su proizvoljne prirodne konstante.

U parametarskom obliku kriva je:

$x(t)=r(t)\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,$

$y(t)=r(t)\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,$

gde su $a$ i $b$ realni brojevi.

Spirala ima karakteristiku da je φ između tangente i radijalne linije u tački $(r,\theta )$ konstanta. Ova karakteristika može biti izražena u diferencijalnim geometrijskim uslovima:

$\arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arctan {\frac {1}{b}}=\phi .$

Izvod od $\mathbf {r} (\theta )$ je proporcionalan parametru $b$ . Drugim rečima, to kontroliše koliko je uska spirala i u kom smeru ide. U ekstremnim slučajevima, gde je $b=0$ ( $\textstyle \phi ={\frac {\pi }{2}}$ spirala postaje krug sa poluprečnikom $a$ . Obrnuto, kada $b$ teži beskonačnosti (φ → 0), spirala teži ka polu pravoj. Komplementarni ugao ugla φ se zove nagib.

Spira mirabilis i Jakob Bernuli uredi

Poprečni presek školjke nautilusa prikazuje komore raspoređene u približno logaritamskoj spirali

Spira mirabilis je latinski naziv za čudesnu spiralu, što predstavlja drugo ime za logaritamsku spiralu. Iako su drugi matematičari dali naziv ovoj krivi Logaritamska spirala, Jakob Bernuli joj je dao ovo specifično ime. On je bio fasciniran ovom posebnom matematičkom osobinom:veličina spirale se povećava, ali njen oblik ostaje nepromenjen povećanem uzastopnih krivi. Ta osobina se zove samosličnost. Ishod ove osobine je da je Spira mirabilis evoluirala u prirodi, pojavljujući se u određenim rastućim oblicima, kao što je ljuštura nautilusa i suncokretov cvet. Jakob Bernuli je želeo takvu spiralu ugraviranu na nadgrobnom spomeniku sa natpisom "Eadem mutata resurgo" (Iako promenjen, ostaću isti), ali greškom Arhimedova spirala je stavljena umesto toga.

Osobine uredi

Logaritamska spirala se može razlikovati od Arhimedove spirale činjenicom da se razdaljina između kružnica kod logaritamske spirale povećava geometrijskom progresijom, dok je kod Arhimedove spirale ta razdaljina konstantna.

Logaritamska spirala je samoslična, i zbog toga se ona, primenom bilo koje transformacije, podudara sa originalnom netransformisanom spiralom. Skaliranjem faktora $e^{2\pi b}$ , gde je b ceo broj, sa centrom skaliranja originala, dobija se ista kriva kao original. Druge skale faktora daju krivu koja se rotira od originalne pozicije spirale. Logaritamska spirala je takođe podudarna svojoj evolventi, evoluti i krivi pedale na osnovu njihovih centara.

Sa početkom u tački $P$ i pomerjuće se ka unutrašnjosti duž spirale, može se kružiti oko početne neograničen broj puta ne dodirujući centar. Ipak, ukupna distanca je finalna, kada se izračuna limes gde $\theta$ teži $-\infty$ . Ovo osobinu prvi je uočio Evanđelista Toričeli pre nego što je izmišljen kalkulus. Ukupna distanca je $\textstyle {\frac {r}{\cos(\phi )}}$ , gde je $r$ prava linija od distance $P$ do originala.