Lukas broj

Ne treba mešati sa Lukas redovima, generičke klase redova kojima pripadaju Lukas brojevi.

Lukas brojevi ili Lukas redovi su celi brojevi redova nazvani po matematičaru Frankuisu Eduardu Anatolu Lukasu (1842–91), koji je proučavao oba ta reda i blisko povezane Fibonačijeve brojeve. Lukas brojevi i Fibonačijevi brojevi formiraju komplementarne slučajeve Lukas redova.

DefinicijaUredi

Slično Fibonačijevim brojevima, svaki Lukas broj je definisan zbirom svoja dva neposredno prethodna člana, čime se formira Fibonačijev celobrojni red. Prva dva Lukas broja su L0 = 2 i L1 = 1 za razliku od prva dva Fibonačijeva broj F0 = 0 i F1 = 1. Iako usko povezani u definiciji, Lukas i Fibonačijevi brojevi pokazuju različite osobine.

Lukas brojevi mogu biti definisani na sledeći način:

 

Red Lukas brojeva je:

 (sekvenca A000032 u OEIS)OEIS).
Svi celi brojevi slični Fibonačijevom redu se pojavljuju u obliku pomeranja kao red Vajtof niza;Fibonačijev sam red je prvi red i Lukas red je drugi red. Takođe, kao svi celi brojevi slični Fibonačijevom redu, odnos između dva uzastopna Lukas broja konvergira od zlatnog preseka.

Proširenje do negativnih celih brojevaUredi

Koristeći Ln−2 = Ln − Ln−1, možemo proširiti Lukas brojeve do negativnih celih brojeva da dobijemo dvostruki beskonačni niz: ..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... članovi   za   su pokazani). Formula za članove sa negativnim indeksom u ovom nizu je

 

Povezanost sa Fibonačijevim brojevimaUredi

Lukas brojevi su povezani sa Fibonačijevim brojevima identitetima

  •  
  •  
  •  , i kako se   približava +∞, odnos   se približava  
  •  
  •  
  •  

Njihova zatvorena formula je data kao:

 

gde je   takođe zlatni presek. Alternativno, kako je za   veličina članova   manja od 1/2,   je najbliži ceo broj broju   ili, ekvivalentno, celobrojni deo  , piše se i kao  .

Nasuprot tome, kako Binetova formula daje:

 

imamo:

 

Odnosi podudarnostiUredi

Ako je Fn ≥ 5 Fibonačijev broj onda nijedan Lukas broj nije deljiv  Fn.

Ln je u skladu za 1 mod n ako je n prost broj, ali neke kompozitne vrednosti n-a takođe imaju ovu osobinu.

Lukas prosti brojeviUredi

Lukas prost broj je Lukas broj koji je prost. Prvih nekoliko Lukas prostih brojeva su -om

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (sekvenca A005479 u OEIS).

Za ove ns su

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (sekvenca A001606 u OEIS).

Ako je Ln prost broj onda je n ili 0, prost, ili stepen 2.[1] L2m je prost broj za m = 1, 2, 3, i 4 i nema više poznatih vrednosti za m.

Lukas polinomiUredi

Na isti način na koji su Fibonačijevi polinomi izvedeni iz Fibonačijevih brojeva, Lukas polinomi Ln(x) su polinomi reda izvedeni iz Lukas brojeva.

Vidi jošUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas prime" from The Prime Pages.

Spoljašnje vezeUredi