Lukas broj

Lukas brojevi ili Lukas redovi su celi brojevi redova nazvani po matematičaru Frankuisu Eduardu Anatolu Lukasu (1842–91), koji je proučavao oba ta reda i blisko povezane Fibonačijeve brojeve. Lukas brojevi i Fibonačijevi brojevi formiraju komplementarne slučajeve Lukas redova.

Ne treba mešati sa Lukas redovima, generičke klase redova kojima pripadaju Lukas brojevi.

Definicija

Slično Fibonačijevim brojevima, svaki Lukas broj je definisan zbirom svoja dva neposredno prethodna člana, čime se formira Fibonačijev celobrojni red. Prva dva Lukas broja su L₀ = 2 i L₁ = 1 za razliku od prva dva Fibonačijeva broj F₀ = 0 i F₁ = 1. Iako usko povezani u definiciji, Lukas i Fibonačijevi brojevi pokazuju različite osobine.

Lukas brojevi mogu biti definisani na sledeći način:

$L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\\\end{cases}}$

Red Lukas brojeva je:

$2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\;47,\;76,\;123,\;\ldots \;$(sekvenca A000032 u OEIS)OEIS).

Svi celi brojevi slični Fibonačijevom redu se pojavljuju u obliku pomeranja kao red Vajtof niza;Fibonačijev sam red je prvi red i Lukas red je drugi red. Takođe, kao svi celi brojevi slični Fibonačijevom redu, odnos između dva uzastopna Lukas broja konvergira od zlatnog preseka.

Proširenje do negativnih celih brojeva

Koristeći L_n−2 = L_n − L_n−1, možemo proširiti Lukas brojeve do negativnih celih brojeva da dobijemo dvostruki beskonačni niz: ..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... članovi $L_{n}$ za $-5\leq {}n\leq 5$ su pokazani). Formula za članove sa negativnim indeksom u ovom nizu je

$L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!$

Povezanost sa Fibonačijevim brojevima

Lukas brojevi su povezani sa Fibonačijevim brojevima identitetima

• $\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}$
• $\,L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}$
• $\,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}$, i kako se $n\,$ približava +∞, odnos ${\frac {L_{n}}{F_{n}}}$ se približava ${\sqrt {5}}.$
• $\,F_{2n}=L_{n}F_{n}$
• $\,F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}$
• $\,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}={L_{n-3}+L_{n+3} \over 10}$

Njihova zatvorena formula je data kao:

$L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,$

gde je $\varphi$ takođe zlatni presek. Alternativno, kako je za $n>1$ veličina članova $(-\varphi )^{-n}$ manja od 1/2, $L_{n}$ je najbliži ceo broj broju $\varphi ^{n}$ ili, ekvivalentno, celobrojni deo $\varphi ^{n}+1/2$, piše se i kao $\lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor$.

Nasuprot tome, kako Binetova formula daje:

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,$

imamo:

$\varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.$

Odnosi podudarnosti

Ako je F_n ≥ 5 Fibonačijev broj onda nijedan Lukas broj nije deljiv  F_n.

L_n je u skladu za 1 mod n ako je n prost broj, ali neke kompozitne vrednosti n-a takođe imaju ovu osobinu.

Lukas prosti brojevi

Lukas prost broj je Lukas broj koji je prost. Prvih nekoliko Lukas prostih brojeva su -om

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (sekvenca A005479 u OEIS).

Za ove ns su

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (sekvenca A001606 u OEIS).

Ako je L_n prost broj onda je n ili 0, prost, ili stepen 2. L_2^m je prost broj za m = 1, 2, 3, i 4 i nema više poznatih vrednosti za m.

Lukas polinomi

Na isti način na koji su Fibonačijevi polinomi izvedeni iz Fibonačijevih brojeva, Lukas polinomi L_n(x) su polinomi reda izvedeni iz Lukas brojeva.

Vidi još

• Glavni Fibonači

Spoljašnje veze

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Finite-difference calculus" Encyclopedia of Mathematics, Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric W., "Lucas Number", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Lucas Polynomial", MathWorld.
• Dr Ron Knott
• Lucas numbers and the Golden Section
• A Lucas Number Calculator can be found here.
• (sequence A000032 in OEIS) Lucas Numbers in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.