Lukas broj
Lukas brojevi ili Lukas redovi su celi brojevi redova nazvani po matematičaru Frankuisu Eduardu Anatolu Lukasu (1842–91), koji je proučavao oba ta reda i blisko povezane Fibonačijeve brojeve. Lukas brojevi i Fibonačijevi brojevi formiraju komplementarne slučajeve Lukas redova.
- Ne treba mešati sa Lukas redovima, generičke klase redova kojima pripadaju Lukas brojevi.
Definicija uredi
Lukas brojevi mogu biti definisani na sledeći način:
Red Lukas brojeva je:
Proširenje do negativnih celih brojeva uredi
Koristeći Ln−2 = Ln − Ln−1, možemo proširiti Lukas brojeve do negativnih celih brojeva da dobijemo dvostruki beskonačni niz: ..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... članovi za su pokazani). Formula za članove sa negativnim indeksom u ovom nizu je
Povezanost sa Fibonačijevim brojevima uredi
Lukas brojevi su povezani sa Fibonačijevim brojevima identitetima
- , i kako se približava +∞, odnos se približava
Njihova zatvorena formula je data kao:
gde je takođe zlatni presek. Alternativno, kako je za veličina članova manja od 1/2, je najbliži ceo broj broju ili, ekvivalentno, celobrojni deo , piše se i kao .
Nasuprot tome, kako Binetova formula daje:
imamo:
Odnosi podudarnosti uredi
Ako je Fn ≥ 5 Fibonačijev broj onda nijedan Lukas broj nije deljiv Fn.
Ln je u skladu za 1 mod n ako je n prost broj, ali neke kompozitne vrednosti n-a takođe imaju ovu osobinu.
Lukas prosti brojevi uredi
Lukas prost broj je Lukas broj koji je prost. Prvih nekoliko Lukas prostih brojeva su -om
- 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (sekvenca A005479 u OEIS).
Za ove ns su
- 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (sekvenca A001606 u OEIS).
Ako je Ln prost broj onda je n ili 0, prost, ili stepen 2.[1] L2m je prost broj za m = 1, 2, 3, i 4 i nema više poznatih vrednosti za m.
Lukas polinomi uredi
Na isti način na koji su Fibonačijevi polinomi izvedeni iz Fibonačijevih brojeva, Lukas polinomi Ln(x) su polinomi reda izvedeni iz Lukas brojeva.
Vidi još uredi
Reference uredi
- ^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas prime" from The Prime Pages.
Spoljašnje veze uredi
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Finite-difference calculus" Encyclopedia of Mathematics, Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric W., "Lucas Number", MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Lucas Polynomial", MathWorld.
- Dr Ron Knott
- Lucas numbers and the Golden Section
- A Lucas Number Calculator can be found here.
- (sequence A000032 in OEIS) Lucas Numbers in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.