Mera Lebega

U matematici, mera Lebega, je standardan način za dodeljivanje dužine, površine ili zapremine podskupovima Euklidskog prostora. Dobila je ime po francuskom matematičaru Anriju Lebegu. Koristi se u realnoj analizi, u definisanju Lebegove integracije. Skupovi kojima se može pridružiti zapremina se nazivaju Lebeg merljivim; zapremina ili mera Lebeg merljivog skupa A se označava sa λ(A). Dozvoljava se da skup bude Lebeg mere ∞.

Uz pretpostavku aksiome izbora, nisu svi podskupovi od Rⁿ Lebeg merljivi, niti se može na skupu svih podskupova ovog prostora definisati mera koja bi zadovoljavala uobičajene aksiome uključujući i σ-aditivnost. Neobično ponašanje nemerljivih skupova dovodi do kontraintuitivnih iskaza kao što je paradoks Banaha-Tarskog, koji predstavlja posledicu aksiome izbora.

Unutar integrala po Lebegu, mera Lebega se često označava sa $\mathrm {d} x$, ali ovo ne treba mešati sa drugačijim pojmom zapreminske forme.

Primeri

• Ako je A zatvoren interval [a, b], onda je njegova mera Lebega jednaka dužini b−a. Otvoreni interval (a, b) ima istu meru, jer razlika između ova dva skupa ima meru nula.
• Ako je A Dekartov proizvod intervala [a, b] i [c, d], onda se radi o pravougaoniku, i njegova mera Lebega je površina (b−a)(d−c).
• Kantorov skup je primer neprebrojivog skupa čija mera Lebega je jednaka nuli.

Svojstva

Lebegova mera na Rⁿ ima sledeća svojstva:

1. Ako je A Dekartov proizvod intervala I₁ × I₂ × ... × I_n, onda je A Lebeg merljiv, i $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.$ Ovde $|I|$ označava dužinu intervala I.
2. Ako je A disjunktna unija konačno mnogo ili prebrojivo mnogo disjunktnih Lebeg merljivih skupova, onda je i sam skup A Lebeg merljiv i λ(A) je jednako zbiru (odnosno sumi reda ukoliko je broj sabiraka beskonačan) mera skupova koji pripadaju uniji.
3. Ako je A Lebeg merljiv, onda je i njegov komplement Lebeg merljiv.
4. λ(A) ≥ 0 za svaki Lebeg merljiv skup A.
5. Ako su A i B Lebeg merljivi i A je podskup od B, onda je λ(A) ≤ λ(B). (posledica tačaka 2, 3 i 4.)
6. Prebrojive unije i preseci Lebeg merljivih skupova su Lebeg merljivi.
7. Ako je A otvoren ili zatvoren podskup od Rⁿ (ili čak Borelov skup), onda je A Lebeg merljiv.
8. Ako je A Lebeg merljiv skup, onda je on „približno otvoren“ i „približno zatvoren“ u smislu mere Lebega (videti: teorema regularnosti za meru Lebega).
9. Mera Lebega je ujedno i lokalno konačna i regularna iznutra, pa je ona i Radonova mera.
10. Mera Lebega je strogo pozitivna na nepraznim otvorenim skupovima, pa je njen nosač ceo prostor Rⁿ.
11. Ako je A Lebeg merljiv skup sa λ(A) = 0 (skup mere nula), onda je svaki podskup od A takođe skup mere nula. A fortiori je svaki podskup od A merljiv.
12. Ako je A Lebeg merljiv i x je element od Rⁿ, onda je translat skupa A za x, definisan kao A + x = {a + x : a ∈ A}, takođe Lebeg merljiv i ima istu meru kao A.
13. Ako je A Lebeg merljiv, i $\delta >0$, onda je dilatacija $A$ faktorom $\delta$, definisana kao $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ takođe Lebeg merljiva i ima meru $\delta ^{n}\lambda \,(A)$.
14. Opštije, ako je T linearna transformacija i A je merljiv podskup od Rⁿ, onda je T(A) takođe Lebeg merljiv skup i ima meru $|\det(T)|\lambda (A)$.

Svi gornji iskazi se mogu sumirati na sledeći način:

Lebeg merljivi skupovi grade σ-algebru koja sadrži sve proizvode intervala i λ je jedinstvena kompletna translaciono-invarijantna mera na toj σ-algebri takva da je $\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.$

Lebeg mera takođe ima svojstvo da je σ-konačna.

Nula skupovi

Glavni članak: nula skup

Podskup od Rⁿ je nula skup ako, za svako ε > 0, može da bude pokriven pomoću prebrojivo mnogo proizvoda intervala čiji je ukupna zapremina najviše ε. Svi prebrojivi skupovi su nula skupovi.

Ako podskup od Rⁿ ima Hausdorfovu dimenziju manju od n onda je on nula skup u odnosu na n-dimenzionu Lebeg meru. Ovde je Hausdorfova dimenzija u vezi sa euklidskom metrikom na Rⁿ (ili bilo kojom metrikom koja je sa njom Lipšic-invarijantna). Sa druge strane, skup može da ima topološku dimenziju manju od n, a da ima pozitivnu n-dimenzionu Lebeg meru. Primer ovoga je Smi-Voltera-Kantorov skup čija je topološka dimenzija 0 a ipak ima pozitivnu 1-dimenzionu meru Lebega.

Kako bi se pokazalo da je dati skup A Lebeg merljiv, obično se traži zgodniji skup B, koji se od A razlikuje samo za nula skup (u smislu da je simetrična razlika A Δ B = (A − B) ∪ (B − A) nula skup) i onda se pokaže da se B može generisati korišćenjem prebrojivih unija i preseka otvorenih ili zatvorenih skupova (odnosno, da je B Borelov skup). Za svaki Lebeg merljiv skup postoji Borel merljiv skup B takav da je A Δ B nula skup.

Konstrukcija mere Lebega

Modernu konstrukciju mere Lebega zasnovanu na spoljašnjim merama, je dao Karateodori.

Fiksira se $n\in \mathbb {N}$. Kutija u $\mathbb {R} ^{n}$ je skup oblika $B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$, gde je $b_{i}\geq a_{i}$. Zapremina $\operatorname {vol} (B)$ ove kutije se definiše kao $\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).$

Za svaki podskup A od Rⁿ, može se definisati njegova spoljašnja mera $\lambda ^{*}(A)$ kao:

$\lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{j\in J}\operatorname {vol} (B_{j}):\{B_{j}:j\in J\}{\text{ je prebrojiva kolekcija kutija cija unija pokriva }}A{\Bigr \}}.$

Zatim se definiše da je skup A Lebeg merljiv ako

$\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S-A)$

za sve skupove $S\subset \mathbb {R} ^{n}$. Ovi Lebeg merljivi skupovi formiraju σ-algebru, i mera Lebega se definiše na ovoj σ-algebri kao λ(A) = λ^*(A) za svaki Lebeg merljiv skup A.

Po Vitalijevoj teoremi postoji podskup realnih brojeva R, takav da nije Lebeg merljiv. Važi i mnogo više: ako je A bilo koji podskup od $\mathbb {R} ^{n}$ pozitivne mere, onda A ima podskupove koji nisu Lebeg merljivi.

Odnos sa drugim merama

Borelova mera je saglasna sa merom Lebega na onim skupovima na kojima je definisana; međutim, postoje mnogo više Lebeg merljivih skupova nego Borel merljivih skupova. Preciznije, može se pokazati da je σ-algebra Borel merljivih skupova kardinalnosti c (kardinalnost kontinuuma), dok je σ-algebra Lebeg merljivih skupova strogo veće kardinalnosti 2^c (vidi Kantorov dijagonalni postupak). Borelova mera je translaciono-invarijantna, ali nije kompletna.

Mera Hara se može definisati na svakoj lokalno kompaktnoj grupi i predstavlja uopštenje mere Lebega (koja predstavlja meru Hara na Rⁿ sa strukturom lokalno kompaktne grupe u odnosu na sabiranje).

Hausdorfova mera (videti: Hausdorfova dimenzija) je uopštenje mere Lebega koje je korisno za merenje podskupova od Rⁿ dimenzija manjih od n, kao što su podmnogostrukosti na primer, površi ili krive u R³. Ne treba mešati Hausdorfovu meru i pojam Hausdorfove dimenzije.

Može se pokazati da ne postoji analogon mere Lebega u prostorima beskonačne dimenzije.

Mera Lebega daje jedan pojam „malih skupova“, naime skupova mere nula, za koje kažemo da su „mali“ u smislu teorije mere. Postoje i drugi pojmovi „malih skupova“, kao što su, na primer prebrojivo beskonačni skupovi („mali“ u smislu kardinalnosti) ili skupovi prve kategorije („mali“ u topološkom smislu Berove teorije kategorija). Ovi pojmovi nisu uvek kompatibilni; na primer, interval [0,1] se može predstaviti kao disjunktna unija skupa prve kategorije i skupa mere nula.

Istorija

Anri Lebeg je ovu meru opisao 1901, a sledeće godine je opisao Lebegovu integraciju. I jedan i drugi pojam su objavljeni kao deo njegove disertacije 1902.

Vidi još

• Lebegova teorema o gustini