Montiholov paradoks

Montiholov paradoks je mozgalica, u obliku slagalice verovatnoće (Gruber, Kraus i drugi), slobodno zasnovan na američkom televizijskom kvizu Hajde da se dogovorimo i nazvan po svom originalnom domaćinu, Monti Holu. Problem je prvobitno postavljen u pismu Stiva Selvina u Američkom statističaru 1975. Selvin 1975a, Selvin 1975b. Ona je postala poznata kao pitanje iz pisma čitaoca, navodi Merilin vos Savantov "Pitajte Marilin" kolumna u časopisu Pered 1990. vos Savant 1990a:

U potrazi za novim autom, igrač bira vrata, recimo 1. Domaćin igre onda otvara jedna od preostalih vrata, recimo 3, da otkrije kozu i nudi igraču da odabere vrata 2 umesto vrata 1.

Vos Seventov odgovor je bio da takmičar treba odabrati druga vrata vos Savant 1990a. Pod standardnim pretpostavkama, takmičari koji promene odgovor imaju 2/3 šansi za osvajanje auta, a takmičari koji se čvrsto drže svog izbora imaju samo 1/3 šanse.

Navedene mogućnosti zavise od konkretnih pretpostavki o tome kako domaćin i takmičar biraju svoja vrata. Ključni uvid je da, pod ovim standardnim uslovima, ima više informacija o vratima 2 i 3 koje nisu bile dostupne na početku igre, kada je igrač odabrao vrata 1. Druge mogućnosti izbora od one opisane mogu otkriti različite dodatne informacije, ili ništa uopšte, i daju različite verovatnoće.

Mnogi čitaoci kolumne vos Savante su odbili da veruju da je prebacivanje korisno i pored njenog objašnjenja. Nakon što se problem pojavio u Paradi, oko 10.000 čitalaca, uključujući skoro 1.000 doktora nauka, pisalo je časopisu, većina od njih, tvrdi vos Savanta, je pogrešila Tirni 1991. Čak i kada su data objašnjenja, simulacije i formalni matematički dokazi, mnogi ljudi još uvek nisu prihvatili da je prebacivanje najbolja strategija vos Savant 1991a. Pal Erdeš, jedan od najboljih matematičara u istoriji, ostao je neubeđen dok nije pokazao kompjutersku simulaciju potvrđujući predviđeni rezultat (Vazsoni 1999).

Problem je paradoks opipljivog tipa, jer je tačan rezultat (trebalo bi da promenite vrata) toliko kontraintuitivan da može da izgleda apsurdno, ali je ipak očigledno istina. Monti Hol problem je matematički usko povezan sa ranijim problem tri zatvorenika i mnogo starijim paradoksom Bertrandove kutije.

Paradoks uredi

Stiv Selvin je napisao pismo Američkom statističaru 1975. i opisao problem slobodno baziran na kvizu Hajde da napravimo dogovor, Selvin 1975a, to je presnimavanje "Montiholovof paradoksa" u narednom pismu Selvin 1975b. Problem je matematički ekvivalentan paradoksu tri zatvorenika koji je opisan u Martin Gardnerovoj je "Matematičkoj igri" kolumni u časopisu Sajentistik Amerikan 1959. (Gardner 1959a) i paradoksu tru granate opisanom u Gardnerovoj knjizi "Aha Gotča" Gardner 1982.

Isti problem se ponovio 1990. u pismu Kreg Vajtakera Merilin vos Savant "Pitajte Marilin" kolumna u Pered:

Pretostavimo da ste u igri, i dat Vam je izbor troje vrata: Iza jednih vrata je auto; iza drugih, koze. Vi birate vrata, recimo br.1 , a domaćin, koji zna šta je iza vrata and the host, otvara druga vrata, recimo br.3; iza kojih je koza. Onda Vam on kaže: "Da li želite da odaberete vrata Br. 2?" Da li je na vašu korist da promenite izbor? (Vajtaker, 1990, od strane vos Savant 1990a)

Standardne pretpostavke uredi

Ponašanje domaćina je ključ za 2/3 rešenja. Nejasnoće u "Pered" verziji eksplicitno ne definišu protokol domaćina. Međutim rešenje Merilin vos Savant je (vos Savant 1990a) štampano uz pitanje Vajtekera, što podrazumeva oba, i Selvin 1975a i vos Savant 1991a eksplicitno definisanje uloge domaćina na sledeći način:

  1. Domaćin uvek mora da otvori vrata koja nije odabrao takmičar (Mueser i Granberg 1999).
  2. Domaćin uvek mora da otvori vrata da otkrije kozu, a nikada auto.
  3. Domaćin uvek mora da ponudi mogućnost da se bira između prvobitno odabranih vrata i drugih zatvorenih vrata.

Kada bilo koja od ovih pretpostavki varira, to može promeniti verovatnoću pobede promenom vrata kao što je opisano u poglavlju. Takođe se obično pretpostavlja da se vozilo u početku krije iza slučajnih vrata i da ako je igrač u početku odabrao auto, onda je izbor domaćina vrata koja skrivaju kozu slučajan. (Kraus i Vang, 2003: 9) Neki autori, samostalno ili inkluzivno, pretpostavljaju da je slučajni inicijalni izbor takmičara dobar. Selvin 1975a

Jednostavna rešenja uredi

Rešenje koje je predstavila vos Savant 1990b u Pered pokazuje tri moguća aranžmana jednog automobila i dve koze iza tri vrata i rezultat ostanka ili promene nakon prvobitnog odabira vrata 1 u svakom slučaju:

Iza vrata 1 Iza vrata 2 Iza vrata 2 Rezultat ako ostanemo pri izboru vrata 1 Rezultat ako promenimo odabir vrata
Auto Koza Koza Osvajamo auto Osvajamo kozu
Koza Auto Koza Osvajamo kozu Osvajamo auto
Koza Koza Auto Osvajamo kozu Osvajamo auto

Igrač koji ostane pri početnom izboru pobeđuje u samo jednoj od ove tri podjednako verovatne mogućnosti, dok igrač koji promeni pobeđuje u dva od tri.

Intuitivno objašnjenje je da ukoliko takmičar odabere kozu (2 od 3 vrata) takmičar će osvojiti automobil ako promeni pošto druga koza ne može više biti izabrana, a ako takmičar bira auto (1 od 3 vrata) takmičar neće osvojiti auto prebacivanjem (Karlton 2005, zaključna razmatranja). Činjenica da je domaćin naknadno otkrio kozu u jednim od neotvorenih vrata ne menja ništa o početnoj verovatnoći.

Drugi način da se razume rešenje je da se razmotre dvoje originalnih neodabranih vrata zajedno (Adams 1990; Devlin 2003, 2005, Vilijams 2004, Stibel 2008 i dr.). Kako Sesil Adams (Adams 1990) kaže, "Monti je rekao: možete zadržati svoja prva vrata ili možete imati druga dvoje vrata". 2/3 šanse za pronalaženje kola nije menjano od otvaranja jednih od ovih vrata jer Monti, znajući gde se nalazi auto, siguran da otkrije kozu. Dakle, izbor igrača nakon što domaćin otvori se ne razlikuje od momenta kada je domaćin ponudio igraču opciju za prelazak iz prvobitno izabranih vrata na dvoje preostalih vrata. Promena u ovom slučaju jasno daje igraču verovatnoću 2/3 izbora auta.

Kako kaže Kejt Devlin (Devlin 2003), "Otvaranjem vrata, Monti je rekao da takmičaru " Postoje dvoje vrata koje niste izabrali, a verovatnoća da se nagrada krije iza jednih od njih je 2/3. Ja ću da vam pomognem koristeći svoje znanje gde je nagrada da otvorite jedna od to dvoje vrata da vam pokažem da ne kriju nagradu. Možete iskoristiti ove dodatne informacije. Vaš izbor vrata A ima šansu 1 od 3 da budete pobednik. Nisam promenio to, ali ukidanjem vrata C, ja sam vam pokazao da je verovatnoća da vrata B krijeunagradu je 2 od 3. .

Vos Savant ukazuje na to da će rešenje biti više intuitivno sa 1.000.000 vrata pre nego sa 3. vos Savant 1990a. U ovom slučaju postoje vrata sa 999.999 koza iza njih i jedna vrata sa nagradom. Nakon što je igrač bira vrata domaćin otvara sve osim 1 od preostalih vrata. U proseku, u 999,999 puta od 1.000.000, preostala vrata će sadržati nagradu. Intuitivno, igrač treba pitati koliko je verovatno da je, s obzirom da je milion vrata, on ili ona uspela da izabere prava na početku. Stibel et al. (2008) je predložio da se potražnja memorije oporezuje tokom Montihalovog paradoksa i da to primorava ljude da "kolabiraju" svoje izbore u dve jednako moguće opcije. Oni navode da kada se povećava broj opcija za više od 7 izbora (7 vrata) ljudi imaju tendenciju da se promene češće; međutim većina takmičara i dalje pogrešno sudi verovatnoću uspeha na 50/50.

Vos Savant i senzacija medija uredi

Vos Savant je napisala u svojoj prvoj kolumni za Montiholov paradoks da igrač treba da promeni vos Savant 1990a. Ona je dobila na hiljade pisama od njenih čitalaca-ogromna većina koja, uključujući i mnoge od čitalaca doktora nauka, se ne slaže sa njenim odgovorom. Tokom 1990-1991 još tri njene kolumne u Pered bile su posvećene paradoksu (vos Savant 1990-1991). Brojni primeri pisama od čitalaca Vos Savantine kolumne su predstavljeni i razmatrani u Montiholovoj dilemi: A kognitiv ilužn par ekselens (Granberg 2014).

Rasprava je bila reprodukovana u drugim mestima (na primer, u Sesil Adams '"D streit doup" kolumni, (Adams 1990), i prijavljena u glavnim novinama kao što su Njujork tajms Tirnej 1991.

U pokušaju da razjasni svoj odgovor ona je predložila školjka igru Gardner 1982 da ilustruje: "Gledaš dalje, i ja stavim grašak pod jednu od tri školjke. Onda Vas zamolim da stavite prst na školjku. Šansa da Vaš izbor sadrži grašak su 1/3, slažete li se? Onda ja jednostavno podignem praznu školjku iz preostale druge dve. Kao što mogu (i hoću) uraditi, bez obzira šta ste izabrali, naučili smo da nam ništa ne dozvoljava da revidiramo kvote na školjci pod prstom." Ona je takođe predložila sličnu simulaciju sa tri karte.

Vos Savant je prokomentarisala da, iako su neke zabune izazvane od strane nekih čitalaca koji ne shvataju da je trebalo da pretpostave da domaćin mora uvek otkriti kozu, skoro svi njeni brojni dopisnici su pravilno razumeli problem pretpostavke, i još uvek su bili uvereni da je vos Savantin odgovor ("prekidač") pogrešan.

Konfuzija i kritika uredi

Izvori konfuzije uredi

Kada je prvi put predstavljen Montiholov paradoks ogromna većina ljudi je pretpostavila da svaka vrata ima jednaku mogućnost i zaključila da promena nije bitna (Muser i Granberg, 1999). Od 228 predmeta u jednoj studiji, samo 13% je izabrao da promenu (Granberg i Braun, 1995: 713). U svojoj knjizi D Pavr of Lodžikal tinkin, vos Savant & (1996). str. 15) navodi kognitivni psiholog Masimo Piateli-Palmarini kako kaže "... nijedna druga statistička slagalica ne dolazi tako blizu prevare svih ljudi sve vreme" i "da čak Nobel fizičari sistematski daju pogrešan odgovor, i da insistiraju na tome, i oni su spremni da izgrde u štampi one koji predlažu pravi odgovor ". Golubovi su više puta izloženi problemu pokazivanja da brzo uče da uvek treba da promene, za razliku od ljudi (Herbrenson i Skroder, 2010).

Većina izjava problema, posebno ona u Pered magazinu, ne odgovaraju pravilima stvarnog kviza (Kraus i Veng, 2003: 9), i ne određuju u potpunosti ponašanje domaćina ili da je izabrana lokacija automobila slučano odabrana (Grenberg i Braun, 1995: 712). Kraus i Vang (2003: 10) pretpostavka da ljudi čine standardne pretpostavke, čak i ako nisu eksplicitno navedene.

Iako su ova pitanja matematički značajna, čak i kada za kontrolu ovih faktora skoro svi ljudi i dalje misle da svaka od dvoje neotvorenih vrata imaju jednaku mogućnost i zaključuju da prebacivanje nije bitno (Muser i Granberg, 1999). Ova "jednaka verovatnoća" pretpostavka je duboko ukorenjena intuicija (Falk 1992: 202). Ljudi snažno teže da razmišljaju da je verovatnoća ravnomerno raspoređena po onoliko nepoznanica koliko ih je prisutno, ne uzimajući u obzir da li je ili nije (Foks i Levav, 2004: 637). Zaista, ako igrač smatra da su odabir i promena jednaka i zato jednako često odlučuju da promene kao da ostanu, oni će osvojiti 50% vremena, jačajući svoju prvobitnu veru. Kako ne postoje nejednake šanse za ovo dvoje vrata, a ne s obzirom na to da (1/3 + 2/3) / 2 daje šansu od 50%, kao "mala zelena žena" primer.

Problem nastavlja da privlači pažnju kognitivnih psihologa. Tipično ponašanje većine, odnosno, ne prebacivanje, može se objasniti putem fenomena poznatog u psihološkoj literaturi kao: 1) efekat zadužbine (Kehnemen i saradnici, 1991); ljudi imaju tendenciju da precenjuju pobedničku verovatnoću već izabranog - već "u vlasništvu" - vrata; 2) status kuo pristrasnost (Semjuelson i Zekhauser, 1988); ljudi vole da se drže prvobitnog izbora vrata; 3) greške propusta u odnosu na greške komisije efekta (Gilovič i saradnici, 1995); sve ostalo smatraju jednakim, ljudi više vole greške za koje su odgovorni do kojih je došlo prilikom propusta preduzimanja akcije, nego kroz uzetu izričitu akciju koja kasnije postaje poznata kao pogrešna. Eksperimentalni dokazi potvrđuju da su ovo moguća objašnjenja koja ne zavise od verovatnoće intuicije (Kaivanto et al 2014. Morone i Fiore, 2007).

Rešenja koristeći uslovnu verovatnoću i druga rešenja uredi

Jednostavna rešenja pokazuju da igrač sa strategijom prebacivanja osvaja automobil sa ukupnom verovatnoćom 2/3, odnosno, bez uzimanja u obzir koja vrata je otvorio domaćin (Grinsted i Snel 2006: 137-138 Karlton 2005). Za razliku od većine izvora u oblasti verovatnoće izračunavanje uslovne verovatnoće da je automobil iza vrata 1 i vrata 2 su 1/3 i 2/3 data takmičaru na početku da bira vrata 1 i domaćin otvara vrata 3 (Selvin 1975b, Morgan i saradnici 1991, Čun 1991, Gilman 1992, Čarlton 2005, Grinsted i Snel 2006. 137-138, Lukas i dr 2009). Rešenja u ovom odeljku uzimaju u obzir samo one slučajeve u kojima je igrač odabrao vrata 1 i domaćin otvorio vrata 3.

Prerada jednostavnog rešenja uredi

Ako pretpostavimo da domaćin otvara vrata slučajno, kad imaju izbor, zatim koja vrata domaćin otvara ne daje nam nikakve informacije da li ili ne je automobil iza vrata 1. U jednostavnim rešenjima, već smo primetili da je verovatnoća da je automobil iza vrata 1, vrata prvobitno izabranih od strane igrača, u početku 1/3. Štaviše, domaćin će svakako otvoriti vrata (različita), tako da otvaranje vrata (koja vrata neodređeno) ne promeni ovo. 1/3 mora biti prosečna verovatnoća da je automobil iza vrata 1 jer je domaćin izabrao vrata 2 ili da je domaćin izabrao vrata 3 jer to su jedine dve mogućnosti. Ali ove dve verovatnoće su iste. Zbog toga su jednake 1/3 (Morgan i drugi, 1991). To pokazuje da je šansa da je automobil iza vrata 1. s obzirom na to da je igrač prvobitno izabrao ova vrata i s obzirom da je domaćin otvorio vrata 3 je 1/3, a iz toga sledi da je šansa da je automobil iza vrata 2 daju igraču na početku izbor da izabere vrata 1 i da domaćin otvori vrata 3 je 2/3. Analiza takođe pokazuje da se ukupna stopa uspeha 2/3, postignuta uvek prebacivanjem, ne može poboljšati, i naglašava ono što je već možda bilo očigledno: izbor sa kojim se igrač suočava je da između vrata koja je početku izabrao, i između vrata levozatvorenih od domaćina, konkretni brojevi ovih vrata su nebitni.

Uslovna verovatnoća direktnog obračuna uredi

 
Drvo koje pokazuje verovatnoću svakog mogućeg ishoda, ako igrač na početku bira vrata 1

Po definiciji, uslovna verovatnoća pobede promenom s obzirom na takmičar na početku bira vrata 1 i domaćin otvara vrata 3 je verovatnoća za događaje "automobil je iza vrata 2 i domaćin otvara vrata 3" podeljen je verovatnoćom za "domaćin otvara vrata 3 ". Ove verovatnoće se mogu odrediti koja se u odnosu na uslovnu verovatnoću u tabeli, ili ekvivalentno stablu odlučivanja kao što je prikazano na desnoj strani (Čun 1991; Karlton 2005; Grinsted i Snel 2006: 137-138). Uslovna verovatnoća pobede promenom je (1/3) / (1/3 + 1/6), što je 2/3 Selvin 1975b.

Uslovna verovatnoća iz tabele pokazuje kako bi se 300 slučajeva, u kojima su svi igrači na početku birali vrata 1, razišli, u proseku, u skladu sa lokacijom auta i izborom vrata koje domaćin otvori.

Auto je sakriven iza vrata 3

( 100 slučajeva od 300)

Auto je sakriven iza vrata 1

(100 slučajeva od 300)

Auto je sakriven iza vrata 2 (100 slučajeva od 300)
Igrač slučajno bira vrata 1, 300 ponavljanja
     
Domaćin mora da otvori vrata 2 (100 cases) Domaćin slučajno otvara vrata 2

( 50 slučajeva)

Domaćin slučajno otvara vrata 3

( 50 slučajeva)

Domaćin mora da otvori vrata 3 (100 slučajeva)
       
Verovatnoća 1/3

(100 od 300)

Verovatnoća 1/6

(50 od 300)

Verovatnoća 1/6

(50 od 300)

Verovatnoća 1/3 (100 od 300)
Promena pobeđuje Promena gubi Promena gubi Promena pobeđuje
Kada domaćin otvara vrata 2,

promena pobeđuje duplo onoliko često koliko ostanak (100 slučajeva naspram 50)

Kada domaćin otvara vrata 2,

promena pobeđuje duplo onoliko često koliko ostanak (100 slučajeva naspram 50)

Bejesova teorema uredi

Mnoge knjige verovatnoće i članci iz oblasti teorije verovatnoće izvlače uslovno rešenje verovatnoće kroz formalne primene Bajesove teoreme; među njima Gil, 2002 i Henz, 1997. Upotreba kvota obliku Bajesove teoreme, često nazivane Bajesovo pravilo, čini takva izvođenja transparentnijim (Rozental, 2005a), (Rozental, 2005b).

U početku, auto je jednako verovatno iza bilo kojih od troje vrata: Kvote na vratima 1, 2 vrata, i vrata 3 su1: 1: 1. Ovo ostaje slučaj nakon što je igrač izabrao vrata 1, nezavisno. Prema Bajesovom pravilu, zadnja kvote na lokaciji automobila, s obzirom da domaćin otvara vrata 3, jednake su ranijim kvotama pomnoženim Bajesovim faktor ili verovatnoćom, koja je po definiciji verovatnoća novog podatka ( domaćin otvara vrata 3) pod svaku od hipoteza smatranim (lokacija automobila). Sada, pošto je igrač prvobitno izabrao vrata 1, šansa da domaćin otvara vrata 3 je 50% ako je auto iza vrata 1, 100% ako je auto iza vrata 2, 0% ako je auto iza vrata 3. Tako se Bajesov faktor sastoji od odnosa 1/2: 1: 0 ili ekvivalentno 1: 2: 0, dok su ranije bile šanse 1: 1: 1. Tako zadnje šanse postaju ravnopravne sa Bajesovim faktor 1: 2: 0. Imajući u vidu da domaćin otvara vrata 3, verovatnoća da je auto iza vrata 3 je nula, a to je duplo verovatno biti iza vrata 2 od vrata 1.

Ričard Gil (2011) analizira mogućnost da domaćin otvori vrata 3 na sledeći način. S obzirom na to da auto nije iza vrata 1, podjednako je verovatno da je iza vrata 2 ili 3. Dakle, šansa da domaćin otvara vrata 3 je 50%. S obzirom da je automobil iza vrata 1. šansa da domaćin otvara vrata 3 je takođe 50%, jer kada domaćin ima izbor, ili izbor je jednako verovatno. Dakle, bez obzira da li je automobil iza vrata 1, šansa da domaćin otvara vrata 3 je 50%. Informacija "domaćin otvara vrata 3" doprinosi Bajesovom faktoru ili faktoru rizika 1: 1, da li je ili nije automobil iza vrata 1. U početku, šanse da vrata 1 kriju auto su 2: 1. Stoga, zadnja šansa da vrata 1 kriju auto ostaje ista kao i prethodni put, 2: 1.

Rečima, informacije koja se vrata otvaraju od strane domaćina (vrata 2 ili vrata 3?) ne otkrivaju nikakve informacije o tome da li je ili nije automobil iza vrata 1, a to je upravo ono što je navodno bilo očigledno pristalicama jednostavnih rešenja, ili koristeći idiome matematičkih dokaza ", očigledno istinitih, simetrijom" (Bel 1992).

Direktni proračun uredi

Uzimajući u obzir događaje C1, C2 i C3 ukazuje da je auto iza vrata 1,2 ili 3. Svi ovi događaji imaju verovatnoću 1/3.

Da igrač na početku bira vrata 1 je opisano događajem H1. Kako je prvi izbor igrača nezavistan od položaja automobila, takođe su uslovne verovatnoće su P (C1 | H1) = 1/3. Vrata 3 koja otvara domaćin opisana su događajem H3. Za ovaj događaj važi:

 
 
 

Zatim, ako je igrač u početku odabrao vrata 1, a domaćin otvario vrata 3, uslovna verovatnoća pobede premeštanjem je

 
 

Strategija dominantnih rešenja uredi

Vraćajući se Nejlbuf (1987), Montiholov paradoks je mnogo studiran u literaturi o teoriji igara i teoriji odlučivanja, kao i u nekim popularnim rešenjima koji odgovaraju ovoj tački gledišta. Vos Savant traži odluke, ne šanse. I šansu aspekata kako je automobil skriven i kako su otvorena vrata odabrana nepoznato. Sa ove tačke gledišta, treba zapamtiti da igrač ima dve prilike da napravi izbor: pre svega, koja vrata da na početku izabere; i drugo, da li ili ne da premesti. Pošto on ne zna kako automobil je sakriven, niti kako domaćin pravi izbor, on može da iskoristi svoje prve prilike izbora, kao što su da neutrališe akcije tima koji radi na kvizu, uključujući i domaćina.

Po Gilu, 2011 strategija takmičara obuhvata dve akcije: inicijalni izbor vrata i odluku da promeni (ili da se oslanja) koja može da zavisi i od vrata koja je prvobitno izabrao i vrata za kojadomaćin nudi promenu. Na primer, strategija jednog takmičara je "izabrati vrata 1, a zatim prebaciti na vrata 2 kada je ponuđeno, i ne prebaciti na vrata 3 kada je ponuđeno". Postoji dvanaest takvih determinističkih strategija takmičara.

Osnovna takmičareva strategija upoređivanja pokazuje da za svaku strategiju postoji još jedna strategija B "odabrati vrata, aonda prebaciti bez obzira šta se desi", koji (Gnedin, 2011) dominira. Bez obzira na to kako je vozilo skriveno i bez obzira na to koja pravila domaćin koristi kada ima izbor između dve koze, ako A dobije automobil onda B takođe dobije. Na primer, strategija A "odabrati vrata 1 onda se uvek držati toga" je dominantna od strategije B "odabrati vrata 2, a onda uvek promeniti nakon što domaćin otvori vrata": A pobeđuje kada su vrata 1 skrivala auto, dok B pobeđuje kada jedna od vrata 1 i 3 skrivaju auto. Slično tome, strategija A "odabrati vrata 1, onda preći na vrata 2 (ako su ponuđena ponuđena), ali ne prebaciti na vrata 3 (ako su ponuđen)" je dominantna od strategije B "odabrati vrata 3 i onda uvek prebaciti".

Dominacija je jak razlog da se traže rešenja za strategiju uvek prebacivanja, pod prilično opštim pretpostavkama o okruženju u kojem takmičar donosi odluke. Konkretno, ako je automobil sakriven posredstvom nekog nasumičnog uređaja - kao što su bacanje simetrične ili asimetrične trostrane kocke - dominacija podrazumeva da će strategija maksimiziranja verovatnoće osvajanja auta buti među tri uvek prebacivane strategije, odnosno biće strategija koja u početku bira vrata sa najmanje šanse, a onda prebacuje bez obzira koja vrata da otvori domaćin.

Strateška dominacija povezuje Montihalov paradoks sa teorijom igara. U okruženju nulte sume Gil, 2011, odbacujući neodabrane strategije smanjuje igru na sledeće jednostavne varijante: domaćin (ili TV-tim) odlučuje o tome koja vrata kriju auto, a takmičar bira dvoje vrata (tj. dvoje vrata preostalih nakon takmičarevog prvog, nominalnog izbora). Takmičar pobeđuje (i njegov protivnik izgubi) ako je auto iza jednih od dvoje vrata koja je izabralo.

Rešenja pomoću simulacije uredi

 
Simulacija 29 ishoda Montiholijevog paradoksa

Jednostavan način da se pokaže da je strategija prebacivanja zaista pobeđuje dva od tri puta sa standardnom pretpostavkom je da simulira igru sa kartama (Gardner 1959b</ref><ref>vos Savant 1996, str. 8.). Tri karte od običnog špila se koriste za predstavljanje troje vrata; jedna 'posebna' karta predstavlja vrata sa autom i dve druge karte predstavljaju kozu vrata.

Simulacija se može ponoviti nekoliko puta da simulira više krugova igre. Igrač bira jednu od tri karte, onda, gledajući preostale dve karte "domaćin" odbacuje koza kartu. Ako je karta preostala u ruci domaćina auto karta, ovo je zabeleženo kao promena pobeda; ako domaćin drži koza kartu, runda se evidentira kao pobeda ostanka. Kako se ovaj eksperiment ponavlja tokom nekoliko rundi, posmatrana stopa pobeda za svaku strategiju će verovatno uskladiti svoju teorijsku pobedu sa verovatnoćom.

Ponovljanje igre čini jasnim zašto je prebacivanje bolja strategija. Nakon što igrač bira svoju kartu, što je već utvrđeno da li će prebacivanje osvojiti rundu za igrača. Ako ovo nije uverljivo, simulacija može da se uradi sa celim špilom. (Gardner 1959b; Adams 1990). U ovoj varijanti automobil karta ide domaćinu 51 puta od 52, i ostaje sa domaćinom, bez obzira koliko je ne-karti odbačeno.

Kritika jednostavnih rešenja uredi

Kao što je već primećeno, većina izvora u oblasti verovatnoće, uključujući i mnoge uvodne udžbenike verovatnoće, rešenje problema pokazuje uslovne verovatnoće da je automobil iza vrata 1 i vrata 2 su 1/3 i 2/3 (ne 1/2 i 1 /2) s obzirom na to da takmičar na početku bira vrata 1 i domaćin otvara vrata 3; razni načini za itvođenje i razumevanje ovog rezultata su dati u prethodnim stavovima. Među ovim izvorima sih je nekoliko koji eksplicitno kritikuju popularno prezentovana "simpl" rešenja, rekavši da su ova rešenja "tačna, ali ... klimava" (Rozental 2005a), ili ne "rešavaju problem" (Gilman 1992), ili su "nepotpuna "(Lukas i drugi, 2009), ili su "neubedljiva i dovode u zabludu "(Ejsenhauer 2001) ili su (najviše otvoreno)" lažne "(Morgan i drugi, 1991). Neki kažu da su ova rešenja odgovori na malo drugačije pitanje - jedna formulacija je "morate da objavite pre nego što su vrata otvorena da li planirate da promenite" (Gilman 1992, naglasak u originalu).

Jednostavna rešenja pokazuju na različite načine da će takmičar koji je određen za prebacivanje osvojiti automobil sa verovatnoćom 2/3, a samim tim i da je prebacivanje pobednička strategija, ako igrač mora da izabere unapred između "uvek prebacivanje" i "uvek ostati ". Međutim, verovatnoća pobede uvek prebacivanjem je logički koncept različit od verovatnoće pobede prelaskom s obzirom da je igrač otvorio vrata 1 i da je domaćin otvorio vrata 3. Kao što jedan izvor kaže, "razlika između [ovih pitanja] može mnoge da zbuni"(Morgan i drugi, 1991). Ova činjenica da su različiti može se prikazati variranjem problema tako da ove dve verovatnoće imaju različite numeričke vrednosti. Na primer, pretpostavimo da takmičar zna da Monti ne bira druga vrata slučajno među svim pravnim alternativama, već, kada se daje mogućnost da izaberete između 2 gubitničkih vrata, Monti će otvoriti jedna na desnoj strani. U ovoj situaciji sledeća dva pitanja imaju različite odgovore:

  1. Koja je verovatnoća osvajanja auta uvek promenom?
  2. Koja je mogućnost osvajanja auta ako je takmičar odabrao vrata 1, a domaćin otvorio vrata 3?

Odgovor na prvo pitanje je 2/3, što je ispravno pokazano "simpl" rešenjima. Međutim, odgovor na drugo pitanje je sada drugačiji: uslovna verovatnoća da je automobil iza vrata 1 ili vrata 2, a domaćin otvora vrata 3 (vrata sa desne strane) je 1/2. To je zato što Monti preferira desna vrata što znači da otvara vrata 3 ako je auto iza vrata 1 (čija je prvobitna verovatnoća 1/3) ili ako je auto iza vrata 2 (takođe poreklom sa verovatnoćom 1/3). Za ovakve varijacije, dva pitanja daju različite odgovore. Međutim, dok je početna verovatnoća da je automobil iza svakih vrata 1/3, to nikada nije na štetu takmičara da menja, jer je uslovna verovatnoća pobede od prebacivanja uvek najmanje 1/2. (Morgan i saradnici, 1991)

Četiri profesora sa univerziteta su objavila članak (Morgan i saradnici., 1991) u Amerikan Statistikan-u tvrdeći da je Vos Savant dala tačan savet, ali pogrešan argument. Oni su verovali da će pitanje za šansu automobila iza vrata 2 dati inicijalni izbor igraču da odabere vrata 1 i otvorena vrata 3, i pokazali su da je ta šansa nešto između 1/2 i 1 u zavisnosti od procesa donošenja odluke domaćina s obzirom na izbor . Tek kada je odluka potpuno raspoređena šansa je 2/3.

U pozvani komentar (Sejman, 1991) i u narednim pismima uredniku, (vos Savant, 1991c; Rao, 1992; Bel, 1992; Hogbin i Nijdam, 2010) Morgana i saradnike podržali su neki pisci, a kritikovali drugi; u svakom slučaju odgovor Morgana i saradnika je objavljen uz pisma ili komentare u Amerikan statistikan-u. Posebno, vos Savant branila je sebe energično. Morgan i saradnici su se žalili u svom odgovoru vos Savanti (1991c) na koji vos Savanta još uvek nije zapravo odgovorila na njihovo glavno pitanje. Kasnije u svom odgovoru Hogbin i Nijdam (2011) su se dogovorili da je prirodno pretpostaviti da domaćin bira vrata potpuno nasumice, kad nema izbora, a samim tim i da je uslovna verovatnoća pobede od promene ( odnosno, uslovno s obzirom na situaciju u kojoj je igrač kad ima pravo da napravi svoj izbor) ima istu vrednost, 2/3, kao bezuslovna verovatnoća pobede od promene (tj, u proseku preko svih mogućih situacija). Ovu jednakost je već naglasio Bel (1992) koji je predložio da Morgan i saradnici matematički uključe rešenje samo apelom na statističare, dok je jednakost uslovnog i bezuslovnog rešenja u slučaju simetrije intuitivno očigledna.

Postoji neslaganje u literaturi o tome da li je vos Savantina formulacija problema, kao što je predstavljeno u časopisu Pered, traži prvo ili drugo pitanje, i da li je ova razlika značajna (Rosenhous 2009). Behrends (2008) zaključuje da "Mora se razmotriti to pitanje sa pažnjom da se vidi da su obe analize ispravne"; što ne znači da su one iste. Jedna analiza za jedno pitanje, druga analiza za drugo pitanje. Nekoliko diskutanata na papiru od (Morgan i saradnici. 1991), čiji doprinosi su objavljeni na originalnom papiru, oštro kritikovani autori za menjanje vos Savantinog teksta i pogrešno tumačenje svoje namere (Rosenhous 2009). Jedan diskutant (Vilijam Bel) je smatrao da je stvar ukusa da li je ili ne eksplicitno pominjanje toga (pod standardnim uslovima), koja je vrata otvorio domaćin je nezavisno od toga da li ili ne treba da promenite.

Među jednostavnim rešenjima, "rešenje kombinovanih vrata" dolazi do najbližeg uslovnog rešenja, kao što smo videli u raspravi pristupa koristeći koncept suprotnosti i Bajesove teoreme. Ona se zasniva na duboko ukorenjenoj intuiciji da otkriva informacije koje su već poznate i ne utiče na verovatnoću. Ali znajući da domaćin može da otvori jedna od dvoje neodabranih vrata da pokaže kozu ne znači da otvaranje određenih vrata neće uticati na verovatnoću da je automobil iza prvobitno izabranih vrata. Poenta je da, iako znamo unapred da će domaćin otvori vrata i otkriti kozu, ne znamo koja vrata da će se otvoriti. Ako domaćin bira nasumično između vrata koja kriju kozu (kao što je slučaj u standardnom tumačenju) ovo verovatno zaista ostaje nepromenjeno, ali ako domaćin može izabrati ne slučajno između tih vrata onda specifična vrata koja je domaćin otvara otkrivaju dodatne informacije. Domaćin uvek može da otvori vrata koja otkrivaju kozu i (u standardnom tumačenju problema), verovatnoća da je automobil iza prvobitno izabranih vrata se ne menja, ali to nije zbog forme da je ovo drugo istina. Rešenja zasnovana na pretpostavci da akcije domaćina ne mogu uticati na verovatnoću da je automobil iza prvobitno izabranih izgleda ubedljiv, ali je tvrdnja jednostavno neistinita, osim ako su svaki od dva izbora domaćina podjednako verovatni, ako ima izbor (Falk 1992: 207,213). Tvrdnja stoga treba da bude opravdana; bez opravdanja se daje, rešenje je u najboljem nepotpuno. Odgovor može da bude tačan, ali je obrazloženje korišćeno za opravdanje neispravno.

Neke od konfuzija u literaturi nesumnjivo proizilaze jer su pisci koristili različite koncepte verovatnoće, naročito u odnosu na Bajesovu verziju verovatnoće. Za Bajesove, verovatnoća predstavlja znanje. Za nas i za igrača, automobil će prvobitno jednako verovatno biti iza svakih od troje vrata jer ne znamo apsolutno ništa o tome kako su organizatori igre odlučili gde da ga stave. Za nas i za igrača, domaćin će jednako verovatno da odabere bilo koja vrata (kada ima izbor), jer ne znamo apsolutno ništa o tome kako on pravi svoj izbor. Ove "jednake verovatnoće" verovatnoće zadataka određuju simetriju u problemu. Ista simetrija može da se koristi za tvrdnje da su unapred specifični brojevi vrata irelevantni, kao što smo gore videli.

Mogućnosti uredi

Zajednička varijanta problema, preuzeta od nekoliko akademskih autora kao kanonski problem, ne čini jednostavnom pretpostavku da domaćin mora nasumično da izabere vrata koja će da otvori, ali umesto da koristi neku drugu strategiju. Konfuzija o tome koja formalizacija je autoritativno dovela do značajne zajedljivosti, posebno zbog toga što ova varijanta daje dokaze više uključene bez menjanja optimalnosti strategije uvek menjanja za igrača. U ovoj varijanti, igrač može imati različite verovatnoće pobede u zavisnosti od posmatranog izbora domaćina, ali u svakom slučaju je verovatnoća pobede od prebacivanja najmanje 1/2 (i može biti visoka do 1), dok je ukupna verovatnoća pobede od prebacivanja uvek tačno 2/3. Varijante su ponekad prikazane u sukcesiji u udžbenicima i predmetima namenjenim za učenje osnove teorije verovatnoće i teorije igara. Znatan broj drugih generalizacija se takođe razmatrao.

Drugi izbori domaćina uredi

Verzija za Montholov paradoks koji je objavljen u Pered 1990. godine nije izričito navodio da će domaćin uvek otvoriti još jedna vrata, ili uvek nudeo izbor za prelazak, ili da se čak nikada ne otvaraju vrata koja kriju auto. Međutim, vos Savanta je to razjasnila u svojoj drugoj kolumni da će ponašanje domaćina biti samo ono što je dovelo do 2/3 verovatnoće, što je dala kao svoj originalan odgovor. "Sve drugo je drugo pitanje". vos Savant 1991a "Praktično svi moji kritičari razumeju namenu scenarija. Ja sam lično pročitala skoro tri hiljade pisama (od mnogih dodatnih hiljada koji su stigli) i uočila da gotovo svako insistira samo na tome što su ostale dve opcije (ili ekvivalentne greške ), šanse su jednake. Veoma mali broj je postavio pitanje dvosmislenosti, kao i da su pisma zapravo objavljena u kolumni nisu bila među onih nekoliko. " vos Savant 1996 Odgovor glasi ako je automobil postavljen nasumice iza bilo vrata, domaćin mora da otvori vrata otkrivajući kozu, bez obzira na početni izbor igrača i, ako su dvoja vrata na raspolaganju, bira slučajno koja da otvori (Mueser i Granberg, 1999). Sledeća tabela prikazuje niz drugih mogućih izbora domaćina i uticaj na uspeh prebacivanja.

Određivanje igračeve najbolje strategije u okviru datog niza drugih pravila domaćin mora da sledi je vrsta problema studirana u teoriji igara. Na primer, ako domaćin nije u obavezi da ponudi promenu igrač može posumnjati da je domaćin zlonameran i da čini ponude češće ako je igrač prvobitno izabrao auto. U principu, odgovor na ovu vrstu pitanja zavisi od konkretnih pretpostavki o ponašanju domaćina, a može se kretati od "ignorisati domaćina potpuno" do "bacite novčić i promenite ako padne glava"; vidi poslednji red u tabeli.

Morgan i saradnici (1991) i Gilmen (1992) pokazuju opštije rešenje gde je auto (ravnomerno) nasumično postavljen, ali domaćin nije ograničen da izabere nasumično ako je igrač prvobitno izabrao auto, koji je, kako obojica tumače izjavu problema u Pered uprkos odricanju autora. Obojica su promenili formulaciju verzije Parad da naglase tu tačku kada su prepravljali problem. Oni smatraju scenario gde domaćin bira između otkrivanja dve koze sa sklonošći izraženom kao verovatnoća q, ima vrednost između 0 i 1. Ako je domaćin bira nasumice q biće 1/2 i prebacivanje pobeđuje sa verovatnoćom 2/3 bez obzira na to koja vrata otvara domaćin. Ako igrač bira vrata 1 i domaćin daje prednost vratima za 3 je q, onda je verovatnoća da domaćin otvara vrata 3 i da je auto iza vrata 2 1/3, dok je verovatnoća da domaćin otvara vrata 3 i da je auto iza vrata 1 (1/3) q. To su jedini slučajevi u kojima domaćin otvara vrata 3, tako da je uslovna verovatnoća pobede promenom s obzirom domaćin otvara vrata 3 (1/3) / (1/3 + (1/3) q) koji pojednostavljuje do 1 / (1 + k). Pošto q može da varira između 0 i 1, uslovna verovatnoća može da varira između 1/2 i 1. To znači da čak i bez ograničavanja kako domaćin bira vrata ako je igrač u početku odabrao auto, igraču nikada nije lošije da promeni. Međutim ni izvor ne sugeriše da igrač zna šta je vrednost q tako da se igrač ne može osloniti na drugu verovatnoću osim 2/3 za koju je vos Savanta smatrala da je implicitna.

Mogući izbori domaćina pri nespecifičnom problemu
Izbor domaćina Rezultat
Domaćin se ponaša kao što je navedeno u specifičnoj verziji problema. Prebacivanje osvaja automobil za dve trećine vremena. (Specifični slučaj generalizovane formom ispod sa p=q=½)
Domaćin uvek otkriva kozu i uvek nudi promenu. Ako ima izbora, bira kozu sa leve strane sa verovatnoćom p (koja može zavisiti od početnog izbora igrača) i desna vrata sa verovatnoćom q=1−p. (Morgan i saradnici 1991) (Rozental, 2005a) (Rozental, 2005b). Ako domaćin otvori desna vrata, promena pobeđuje sa verovatnoćom

1/(1+q).

"Monti iz pakla": Domaćin nudi opciju promene samo kada je igrač odabrao pobednička vrata.

Tirni 1991

Prebacivanje uvek daje kozu.
"Anđeoski Monti": Domaćin nudi opciju promene samo kada je igrač izabrao pogrešna vrata (Grensberg 1996:185). Prebacivanje uvek daje auto.
"Montijev pad" ili "Neuki Monti": Domaćin ne zna šta je iza vrata i otvara jedna nasumično i događa se da ne kriju auto (Grensberg i Braun, 1995:712) (Rozental, 2005a) (Rozental, 2005b). Prebacivanje daje auto za polovinu vremena.
Domaćin zna šta je iza vrata, i (pre nego što igrač odabere) bira nasumično koju kozu da otkrije. On nudi opciju zamene samo kada se igračev izbor razlikuje od njegovo. Prebacivanje daje auto za polovinu vremena.
Domaćin otvara vrata i daje ponudu za zamenu 100% od vremena ako takmičar isprva odabere auto, i 50% vremena u suprotnom. (Muser i Grenberg 1999) Promena osvaja 1/2 vremena za Nešov ekvilibrijum.
Četiri faze dva igrača teorijske igre (Gil, 2010, Gil, 2011). Igrač igra protiv organizatora kviza (TV stanice) koji podrazumeva domaćina. Prva faza: organizatori biraju vrata (izbor se drži u tajnosti od igrača). Druga faza: igrač napravi preliminarni izbor vrata. Treća faza: domaćin otvara vrata. Četvrta faza: tim donosi konačnu odluku. Igrač želi da osvoji automobil, TV stanica želi da ga zadrži. Ovo su nulte sume igre dve osobe. Von Nojmanova teorema iz teorije igara, ako dozvolimo obema stranama potpuno randomizirane strategije postoji minimaks rešenje ili Nešov ekvilibrijum (Mueser i Granberg 1999). Minimaks rešenje (Nešov ekvilibrijum): automobil je prvo skriven nasumično i domaćin kasnije bira slučajna vrata da otvori bez otkrivanja auta i drugačija od vrata igrača; igrač prvi bira slučajna vrata, a kasnije se uvek prebacuje na druga zatvorena vrata. Sa svojom strategijom, igrač ima šanse za pobedu za najmanje 2/3, međutim TV stanica igra; sa strategijom TV stanice, TV stanica će izgubiti sa verovatnoćom najviše 2/3, međutim, igrač igra. Činjenica da se dve strategije poklapaju (najmanje 2/3, najviše 2/3) dokazuje da oni čine minimaks rešenja.
Kao prethodni, ali sada domaćin ima opciju da ne otvori vrata uopšte. Minimaks rešenje (Nešov ekvilibrijum): automobil je prvo skriven nasumično i domaćin kasnije nikada ne otvara vrata; Prvi igrač bira vrata slučajno, a kasnije se nikada ne prebacuje. Strategija igrača garantuje šansu za pobedu za najmanje 1/3. Strategija TV stanice garantuje šansu za gubljenje za najviše 1/3.
Dil or No Dil slučaj: domaćin traži od igrača da otvori vrata, a zatim nudi promenu u slučaju da automobil nije otkriven. Promena osvaja auto za polovinu vremena.

N vrata uredi

D. L. Ferguson (1975 u pismu upućenom Selvinu citirano u Selvin 1975b ukazuje na generalizaciju N-vrata originalnog problema u kojima domaćin otvara p gubitnička vrata, a zatim nudi igraču mogućnost promene; U ovoj varijanti promena pobeđuje sa verovatnoćom (N-1) / [N (N-p-1)]. Ako domaćin ne otvara nijedna vrata, igraču je bolje da promeni, ali, ako domaćin otvara samo jedna vrata, prednost se približava nuli i N raste (Granberg 1996: 188). Sa druge strane, ako je domaćin otvara sve osim jednih gubitničkih vrata prednost raste kako N raste (verovatnoća pobede prelaskom pristupa 1 kako N raste).

Kvantna verzija uredi

Kvantna verzija paradoksa ilustruje neke tačke o odnosu između klasične ili ne-kvantne informacije i kvantne informacije, kao što je kodirana u stanjima kvantnomehaničkih sistema. Formulacija je slobodno zasnovana na kvantnoj teoriji igara. Troje vrata su zamenjena kvantnim sistemom koji omogućava tri alternative; otvaranje vrata i gledanje iza njih što je prevedeno kao određeno merenje. Pravila se mogu navoditi u tom jeziku, i ponovo izbor za igrača je da se drži početnog izbora, ili da promeni za drugu "ortogonalnu" opciju. Ispada da ova druga strategija udvostručava šanse, baš kao u klasičnom slučaju. Međutim, ako voditelj nije promenio položaj nagrade u potpunosti na način kvantne mehanike, igrač može još bolje, a ponekad može čak i osvojiti nagradu sa sigurnošću (Flitnei i Abot 2002, D'Ariano i saradnici 2002 ).

Istorija uredi

Najranija od nekoliko zagonetki verovatnoće koje se odnose na Montihalov paradoks je paradoks Bertandove kutije, postavljen od strane Josipa Bertranda 1889. godine u svojoj Kalkul des probabilites (Barbau 1993). U ovoj zagonetki postoje tri kutije: kutija koja sadrži dva zlatnika, kutiju sa dva srebrenjaka, i kutija sa jednim od svakog. Nakon izbora kutije nasumično se povlači jedan novčić koji je zlatnik, pitanje je koja je verovatnoća da je drugi novčić zlatan. Kao i u Montiholijevom paradoksu intuitivan odgovor je 1/2, ali je verovatnoća je zapravo 2/3.

Paradoks tri zatvorenika, objavljen u Martin Gardnerovoj kolumni Matematičke igre u časopisu Sajentistik merikan 1959. (1959a, 1959b), ekvivalentna je Montiholijevom paradoksu. Ovaj problem uključuje tri osuđena zatvorenika, od kojih je jedan slučajno i tajno izabran da bude pomilovan. Jedan od zatvorenika moli upravnika da mu kaže ime jednog od zatvorenika koji je odabran da bude pomilovan, tvrdeći da je to otkrivanje informacije nema nikakve veze sa njegovom vlastitom verom, ali da povećava njegove šanse da bude pomilovan od 1/3 do 1/2. Upravnik obavezuje, (tajno) bacanje novčića da odluči koje ime da daju ako je zatvorenik koji je pitao onaj koji će biti pomilovan. Pitanje je da li će odgovor upravnika promeniti šanse zatvorenika da bude pomilovan. Ovaj problem je ekvivalentan Montiholovom paradoksu; zatvorenik koji postavlja pitanje još uvek ima 1/3 šanse da bude pomilovan, ali njegov neimenovani kolega ima 2/3 šanse.

Stiv Selvin je postavio Montiholov paradoks u par pisama u Amerikan Statistikan-u 1975. Selvin 1975a, Selvin 1975b. Prvo pismo je predstavilo problem u verziji neposredno povezanoj sa njegovom prezentacijom u Parad 15 godina kasnije. Drugo se javlja kao prva upotreba termina "Montiholov paradoks". Problem je zapravo ekstrapolacija iz kviza. Monti sala jeste otvaranje pogrešnih vrata za izgradnju uzbuđenja, ali je ponuđena manja poznata nagrada poznatu - kao 100 američkih dolara novčanica - a ne izbor za promenu vrata. Kao što je Monti Hol napisao Selvinu:

Verzija problema koji je veoma sličan onom koji se pojavio tri godine kasnije u Pered-u je objavljen 1987. u odeljku Zagonetke D Džurnal of Ekonomik Perspektivs (Nejlbuf 1987). Nejlbuf, kao kasniji pisci u matematičkoj ekonomiji, vidi problem kao jednostavnu i zabavnu vežbu u teoriji igara.

Članak Filipa Martina u izdanju magazina Bridž Tudej 1989 pod nazivom "D Monti Hol Trep" (Martin 1989) predstavio je Selvinov paradoks kao primer onoga što Martin nazivao verovatnoćom zamke tretiranja ni-slučajnih informacija kao da su nasumične, a koje se odnose na koncepte u igri mosta.

Prepravljena verzija Selvinovog paradoksa se pojavila u Merilin vos Savantinoj kolumni pismo i odgovor u Pered-u u septembru 1990. godine vos Savant 1990a Iako je vos Savanta dala tačan odgovor kda će promena osvojiti dve trećine tog vremena, ona procenjuje da će časopis primiti 10.000 pisama, uključujući blizu 1.000 doktora nauka koji su potpisali, mnogi na memorandumima matematike i odeljenu nauke, izjavljujući da joj je rešenje pogrešno. (Tirni 1991) Zbog ogromnog odgovora, Pered je objavio presedan četiri kolumne za problem. vos Savant 1996 & pp. 15 Kao rezultat publiciteta problema zarađen je alternativni naziv Merilin i koze.

U novembru 1990. godine, jednaka rasprava o vos Savantinom članku zauzela je mesto u kolumni Sesil Adamsa D Strejt Doup (Adams 1990). Adams je na početku odgovorio, pogrešno, da su šanse za dvoje preostalih vrata da moraju svaka biti jedan u dva. Nakon što je čitalac pisao da ispravi matematiku Adamsove analize, Adams se složio da je matematički, on pogrešiou, ali je rekao da je verzija Pered ostavila kritična ograničenja nepisana, i bez tih ograničenja, šanse za osvajanje promenom nisu nužno 2 / 3. Brojni čitaoci, međutim, napisao je Adams su bili "u pravu prvi put" i da su tačne šanse jedan od dva.

Kolumna u Pered i njegov odgovor je izazvao dosta pažnje u medijima, uključujući naslovnu stranu u Njujork Tajms-u u kojem je sam Monti Hol obavio intervju. Tirni 1991 Hol izgleda da razume problem, dajući reporteru demonstracije sa ključevima auta i objašnjavajući kako se igra igra na Lets Mejk a Dil različito od pravila zagonetke. U članku, Hol je istakao da zbog toga što je imao kontrolu nad načinom na koji je igra napredovala, igrajući se psihom takmičara, teorijska rešenje se ne mogu primeniti na stvarne igre emisije.

Karakteristike Montiholovog paradoksa postoje u romanu D Kjurios Insident of d Dog in d Najt-Tajm Marka Hadona 2003. godine i predstavljene su elementom zemljišta 2012. u romanu Svit Tut Iana MekIvena.

Vidi još uredi

Reference uredi

Spoljašnje veze uredi