Ravnomerna neprekidnost

Definicija

Funkciju $f:X\rightarrow \mathbb {R}$, gde je $X\subseteq \mathbb {R}$, a funkcija je neprekidna na skupu $X$, nazivamo ravnomerno (uniformno) neprekidnom na tom skupu, ako se za svako $\varepsilon >0$, može naći pozitivno $\delta$, tako da za svake dve tačke njenog domena koje se nalaze na rastojanju manjem od $\delta$, važi $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$.

Odnosno, uslov ravnomerne neprekidnosti funkcije $f$ na skupu $X$ se može zapisati kao:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1},x_{2}\in X)(|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon )$.

Diskusija definicije

Opravdanost ove definicije, pored definicije same neprekidnosti funkcije potiče od toga - da bi funkcija bila neprekidna u svakoj tački svog domena $X$, potrebno je naći najmanje $\delta =\delta _{0}$ od svih okolina svake tačke domena, za koje bi onda važilo:

$(\forall x,x_{0}\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ).$

Ako je skup $X$ konačan, to je moguće uraditi. Međutim, kada $X$ nije konačan, ne postoji garancija da će takvo najmanje $\delta =\delta _{0}$ uopšte postojati. Time je opravdana postojanost navedene definicije ravnomerne neprekidnosti.

Kriterijum za određivanje ravnomerne neprekidnosti

Glavni članak: Kantorov stav o ravnomernoj neprekidnosti

Opšti kriterijum za određivanje ravnomerne neprekidnosti funkcija daje Kantorov stav o ravnomernoj neprekidnosti. Teorema se može dokazati korišćenjem Borel-Lebegove leme o pokrivačima i potpokrivačima.

Teorema

Ako je funkcija $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ neprekidna na intervalu $[a,b]$, ona je i ravnomerno neprekidna na njemu.

Dokaz

Iz definicije neprekidnosti imamo da ako je funkcija $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ neprekidna na intervalu $[a,b]$ (dato kao uslov za teoremu), onda za proizvoljnu tačku $x$ iz tog segmenta postoji neka okolina $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ i za sve tačke $x_{1}\in U(x)$ važi: $|f(x)-f(x_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})$.

Izaberimo 2 tačke, $x_{1},x_{2}\in U(x)$. Tada je:

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Izaberimo sada okolinu duplo manjeg poluprečnika, $U'(x)=(x-{\frac {\delta }{2}},x+{\frac {\delta }{2}})$. Ako takvu okolinu konstruišemo za svaku tačku segmenta $[a,b]$, dobićemo skup otvorenih intervala koji očigledno prekriva ceo segment $[a,b]$, pa skup tih intervala čini pokrivač segmenta $[a,b]$. Iz Borel-Lebegove leme imamo da postoji konačan potpokrivač tog intervala, tj. da postoje tačke $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ tako da njihove okoline $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$ obrazuju podpokrivač segmenta $[a,b]$. Kako tačaka $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ima konačno mnogo, može se među njihovim okolinama pronaći najmanje ${\frac {\delta _{i}}{2}}$ i označimo ga sa $\delta$.

Izaberimo sada neku tačku $x'$ iz intervala $[a,b]$ koja pripada nekom od intervala $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$, što zapisujemo: $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Izaberimo i tačku $x''$ iz intervala $[a,b]$ koja se nalazi u $\delta$-okolini tačke $x'$, tj. $|x'-x''|<\delta$. To možemo uraditi po definiciji, zato što je funkcija u celom segmentu neprekidna, a pošto je $\delta \leq {\frac {\delta _{i}}{2}}$, onda je sigurno i $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Sada, iz $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ i $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ imamo da je:

$|x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},$

tj. obe tačke, i $x'$ i $x''$, pripadaju $\delta _{i}$-okolini tačke $\delta _{i}$, odnosno, obe se nalaze unutar neke okoline $(x-\delta _{i},x+\delta _{i})$, pa imamo da je onda $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$, što je i trebalo dokazati.

Vidi još

• Neprekidna funkcija
• Borel-Lebegova lema
• Kantorov stav o ravnomernoj neprekidnosti

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.