Racionalan broj

U matematici, racionalan broj (ponekad u razgovoru upotrebljavamo razlomak) je broj koji se može zapisati kao odnos dva cela broja a/b, gde b nije nula.^[1] Na primer, $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}−3/7$ je racionalan broj, kao i svaki ceo broj (npr. $5 = 5 / 1$ ). Skup svih racionalnih brojeva, koji se takođe nazivaju „racionalnim” vrednostima,^[2] polje racionalnih vrednosti^[3] ili polje racionalnih brojeva obično se označava podebljanim $Q$ (ili $\mathbb {Q}$ , unikod vrednošću U+1D410 𝐐 mathematical bold capital q ili U+211A ℚ double-struck capital q);^[4] kako ga je 1895. označio Đuzepe Peano po reči quoziente, što je italijanski za „kvocijent“, a prvi put se pojavio u Burbakijevoj Algebri.^[5]

Racionalni brojevi ( $\mathbb {Q}$ ) su uključeni u realne brojeve ( $\mathbb {R}$ ), dok sami obuhvataju cele brojeve ( $\mathbb {Z}$ ), koji obuhvataju prirodne brojeve ( $\mathbb {N}$ )

Svaki racionalan broj može biti napisan na beskonačan broj načina, na primer ${\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$ . Najjednostavniji oblik je kada brojilac i imenilac nemaju zajedničkog delitelja (uzajamno su prosti), a svaki racionalan broj različit od nule ima tačno jednu jednostavnu formu sa pozitivnim imeniocem. Racionalni brojevi imaju decimalni razvoj sa periodičnim ponavljanjem grupa cifara. Ovde se računa i slučaj kada nema decimala ili kada se od nekog mesta 0 ponavlja beskonačno. Ovo je istinito za svaku celobrojnu osnovu veću od 1. Drugim rečima, ako je razvoj ispisa nekog broja u nekoj brojnoj osnovi periodičan, on je periodičan u svim osnovama, a broj je racionalan. Realan broj koji nije racionalan se zove iracionalan. Skup svih racionalnih brojeva, koji čine polje, označava se sa $\mathbb {Q}$ . Koristeći skupovnu notaciju $\mathbb {Q}$ se definiše kao: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\},$ gde je $\mathbb {Z}$ skup celih brojeva.

Decimalno proširenje racionalnog broja se bilo završava nakon konačnog broja cifara (primer: $3 / 4 = 0.75$ ), ili na kraju počinje da se ponavlja isti konačni niz cifara iznova i iznova (primer: $9 / 44 = 0.20454545...$ ).^[6] Nasuprot tome, svaka decimala koja se ponavlja ili završava predstavlja racionalan broj. Ovi iskazi su tačni u bazi 10, i u svakoj drugoj celobrojnoj bazi (na primer, binarnoj ili heksadecimalnoj).

Realan broj koji nije racionalan naziva se iracionalan.^[5] Iracionalni brojevi uključuju $\sqrt 2$ , $π$ , $e$ , i $φ$ . Decimalno proširenje iracionalnog broja se nastavlja bez ponavljanja. Pošto je skup racionalnih brojeva prebrojiv, a skup realnih nebrojiv, i skoro svi realni brojevi su iracionalni.^[1]

Racionalni brojevi se mogu formalno definisati kao klase ekvivalencije parova celih brojeva $(p, q)$ sa $q \neq 0$ , koristeći relaciju ekvivalencije definisanu na sledeći način:

\left(p_{1},q_{1}\right)\sim \left(p_{2},q_{2}\right)\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.

Razlomak $p / q$ tada označava klasu ekvivalencije $(p, q)$ .^[7]

Racionalni brojevi zajedno sa sabiranjem i množenjem čine polje koje sadrži cele brojeve i nalazi se u bilo kom polju koje sadrži cele brojeve. Drugim rečima, polje racionalnih brojeva je prosto polje, a polje ima karakteristiku nula ako i samo ako sadrži racionalne brojeve kao potpolje. Konačna proširenja $Q$ nazivaju se polja algebarskih brojeva, a algebarsko zatvaranje $Q$ je polje algebarskih brojeva.^[8]

Etimologija uredi

Iako se danas racionalni brojevi definišu u vidu odnosa, termin racionalan nije izveden i reči ratio. Naprotiv, to je odnos koji je izveden iz racionalnog. Prva upotreba reči ratio sa njegovim savremenim značenjem je posvedočena na engleskom oko 1660. godine,^[9] dok se upotreba reči rational za kvalifikacione brojeve pojavila skoro vek ranije, 1570. godine.^[10] Ovo značenje racionalnog potiče od matematičkog značenja iracionalnog, koje je prvi put korišćeno 1551. godine, a korišćeno je u „prevodima Euklida (sledeći njegovu osobenu upotrebu ἄλογος)“.^[11]^[12]

Ova neobična istorija potiče od činjenice da su stari Grci „izbegli jeres tako što su sebi zabranili da misle o tim [iracionalnim] dužinama kao brojevima“.^[13] Dakle, takve dužine su bile iracionalne, u smislu nelogičnog, o čemu se „ne govori“ (ἄλογος na grčkom).^[14]

Aritmetika uredi

Četvrtine

Dva racionalna broja (razlomka) ${\frac {a}{b}}$ i ${\frac {c}{d}}$ su jednaki ako i samo ako važi $ad=bc\,$ .

Dva racionalna broja se sabiraju na sledeći način

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}

Pravilo množenja glasi

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}

Aditivni i multiplikativni inverzni element postoji kod racionalnih brojeva

-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\qquad \,

i

\qquad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}

ako je

a\neq 0\,

Sledi da je količnik dva razlomka dat sa

{\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}

Egipatski razlomci uredi

Svaki pozitivni racionalni broj može biti predstavljen kao zbir različitih jediničnih razlomaka, kao što je

{\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}.

Za svaki pozitivni racionalni broj postoji beskonačno mnogo načina da se broj ovako predstavi i to se zovu egipatski razlomci. Kod starih Egipćana je ovakav način predstavljanja bio osnova za sve matematičke radnje.

Formalna konstrukcija uredi

Dijagram koji prikazuje reprezentaciju ekvivalentnih klasa parova celih brojeva

Racionalni brojevi se mogu formirati kao klase ekvivalencije uređenih parova celih brojeva.^[7]^[15]

Tačnije, neka $(Z × (Z \ {0}))$ bude skup parova $(m, n)$ celih brojeva takvih da $n \neq 0$ . Relacija ekvivalencije je definisana na ovom skupu sa

\left(m_{1},n_{1}\right)\sim \left(m_{2},n_{2}\right)\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

^[7]^[15]

Sabiranje i množenje se mogu definisati sledećim pravilima:

\left(m_{1},n_{1}\right)+\left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right),

\left(m_{1},n_{1}\right)\times \left(m_{2},n_{2}\right)\equiv \left(m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}\right).

^[7]

Ova relacija ekvivalencije je relacija kongruencije, što znači da je kompatibilna sa sabiranjem i množenjem definisanim gore; skup racionalnih brojeva $Q$ je definisan kao količnički set uspostavljen ovom relacijom ekvivalencije, $(Z × (Z \ {0})) / ~$ , opremljen sabiranjem i množenjem izazvanim gornjim operacijama. (Ova konstrukcija se može izvesti sa bilo kojim integralnim domenom i proizvodi njegovo polje razlomaka.)^[7]

Klasa ekvivalencije para $(m, n)$ označava se $m / n$ . Dva para $(m 1, n 1)$ i $(m 2, n 2)$ pripadaju istoj klasi ekvivalencije (to jest, ekvivalentni su) ako i samo ako je $m 1 n 2 = m 2 n 1$ . To znači da je $m 1 / n 1 = m 2 / n 2$ ako i samo ako je $m 1 n 2 = m 2 n 1$ .^[7]^[15]

Svaka klasa ekvivalencije $m / n$ može biti predstavljena sa beskonačno mnogo parova, pošto

\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .

Svaka klasa ekvivalencije sadrži jedinstveni kanonski reprezentativni element. Kanonski predstavnik je jedinstveni par $(m, n)$ u klasi ekvivalencije tako da su $m$ i $n$ međusobno prosti, a $n > 0$ . Ovo se naziva reprezentacija u najnižim terminima racionalnog broja.

Celi brojevi se mogu smatrati racionalnim brojevima koji identifikuju ceo broj $n$ sa racionalnim brojem $n / 1$ .

Totalni red se može definisati na racionalnim brojevima, što proširuje prirodni red celih brojeva. Postoji

{\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}

ako

(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\qquad {\text{или}}\qquad (n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).

Reference uredi

^ ^a ^b Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th izd.). New York, NY: McGraw-Hill. str. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics (illustrated izd.). Courier Corporation. str. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. str. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
^ Rouse, Margaret. „Mathematical Symbols”. Pristupljeno 1. 4. 2015. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. „Rational Number”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.
^ „Rational number”. Encyclopedia Britannica (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.
^ ^a ^b ^v ^g ^d ^đ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. str. 75—78. ISBN 978-0-19-871369-2.
^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th izd.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. str. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
^ Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry ratio, n., sense 2.a.
^ Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and n.¹, sense 5.a.
^ Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry irrational, a. and n., sense 3.
^ Shor, Peter (2017-05-09). „Does rational come from ratio or ratio come from rational”. Stack Exchange (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2021-03-19.
^ Coolman, Robert (2016-01-29). „How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years” (na jeziku: engleski). Arhivirano iz originala 21. 12. 2021. g. Pristupljeno 2021-03-20.
^ Kramer, Edna (1983). The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. str. 28.
^ ^a ^b ^v „Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Pristupljeno 2021-08-17.

Literatura uredi

Cassels, J. W. S. (1986), Local Fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31525-5, Zbl 0595.12006
Dedekind, Richard; Weber, Heinrich (2012), Theory of Algebraic Functions of One Variable, History of mathematics, 39, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-8330-3 . — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
Gouvêa, F. Q. (mart 1994), „A Marvelous Proof”, American Mathematical Monthly, 101 (3): 203—222, JSTOR 2975598, doi:10.2307/2975598 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic Numbers: An Introduction (2nd izd.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Zbl 0874.11002
Hazewinkel, M., ur. (2009), Handbook of Algebra, 6, North Holland, str. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
Hehner, Eric C. R.; Horspool, R. Nigel (1979), „A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic”, SIAM Journal on Computing, 8 (2): 124—134, CiteSeerX 10.1.1.64.7714  , doi:10.1137/0208011
Hensel, Kurt (1897), „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 6 (3): 83—88
Kelley, John L. (2008) [1955], General Topology, New York: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
Koblitz, Neal (1980), p-adic analysis: a short course on recent work, London Mathematical Society Lecture Note Series, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-28060-5, Zbl 0439.12011
Robert, Alain M. (2000), A Course in p-adic Analysis, Springer, ISBN 0-387-98669-3
Bachman, George (1964), Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory, Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1986), Number Theory, Pure and Applied Mathematics, 20, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, MR 0195803
Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, 58 (2nd izd.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
Mahler, Kurt (1981), p-adic numbers and their functions , Cambridge Tracts in Mathematics, 76 (2nd izd.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23102-7, Zbl 0444.12013
Steen, Lynn Arthur (1978), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X
Houston-Edwards, Kelsey (19. 10. 2020), An Infinite Universe of Number Systems, Quanta Magazine CS1 održavanje: Format datuma (veza)

Spoljašnje veze uredi

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Rational number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
"Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource
Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
Efficient p-adic arithmetic (slides)
Introduction to p-adic numbers

[Rosen-1] Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th izd.). New York, NY: McGraw-Hill. str. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.

[2] Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics (illustrated izd.). Courier Corporation. str. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382

[3] Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. str. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104

[4] Rouse, Margaret. „Mathematical Symbols”. Pristupljeno 1. 4. 2015. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[:0-5] Weisstein, Eric W. „Rational Number”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.

[6] „Rational number”. Encyclopedia Britannica (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.

[:1-7] v ^g ^d ^đ Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. str. 75—78. ISBN 978-0-19-871369-2.

[Gilbert-8] Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th izd.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. str. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.

[9] Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry ratio, n., sense 2.a.

[10] Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and n.¹, sense 5.a.

[11] Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford University Press. 1989. Entry irrational, a. and n., sense 3.

[12] Shor, Peter (2017-05-09). „Does rational come from ratio or ratio come from rational”. Stack Exchange (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2021-03-19.

[13] Coolman, Robert (2016-01-29). „How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years” (na jeziku: engleski). Arhivirano iz originala 21. 12. 2021. g. Pristupljeno 2021-03-20.

[14] Kramer, Edna (1983). The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. str. 28.

[:2-15] v „Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Pristupljeno 2021-08-17.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]