Tangensna teorema

U trigonometriji, tangentna teorema predstavlja odnos dva ugla trougla i dužine naspramne stranice.

Trougao

Na slici a, b i c su dužine stranica trougla, a α, β i γ su uglovi naspram te tri stranice. Tangentna teorema glasi:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Iako tangentna teorema nije uobičajeno poznata kao sinusna ili kosinusna teorema, ona je ekvivalentna sinusnoj teoremi i može se koristiti ako su poznate dužine dve stranice i ugao izmedju njih, kao i ako su poznata dva ugla i dužina jedne stranice. Tangentnu teoremu kod sfernih trouglova je opisao, u trinaestom veku, persijski matematičar Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), koji je takođe definisao i sinusnu teoremu trougla.

Dokaz

Dokaz da se tangentna teorema može izvesti iz sinusne teoreme:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.$

Neka je:

$d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},$

Tako da je:

$a=d\sin \alpha {\text{ and }}b=d\sin \beta .\,$

Sledi:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.$

Koristeći trigonometrijsku funkciju za transformaciju zbira i razlike u proizvod:

$\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;$

Sledi:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad$

Kao alternativa korišćenju funkcije zbira ili razlike dva sinusa, takođe se može koristiti ova trigonometrijska funkcija:

$\tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}$

Primena

Pomoću tangentne teoreme se može izračunati nepoznata dužina stranice trougla i uglovi trougla kod kog su dve stranice a i b i ugao između njih poznati. Iz

$\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]$

Preostala stranica c se može izračunati iz sinusne teoreme. Pre elektronskih kalkulatora, ovaj način izračunavanja se koristio češće nego kosinusna teorema, pošto je ovaj drugi način zahtevao dodatno proveravanje u logaritamskim tablicama, zbog računanja kvadratnog korena.

Tangensna teorema polu-uglova

Tangensna teorema

Tangensna teorema govori o tangensima polu-uglova izraženih pomoću strana trougla i poluprečnika upisanog kruga u dati trougao.

Teorema 1

Tangens polu-ugla trougla jednak je količniku poluprečnika upisanog kruga i razlike poluobima i suprotne strane, tj.

$\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\frac {r}{p-a}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\frac {r}{p-b}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\frac {r}{p-c}},$

gde su A, B, C uglovi trougla ABC, r poluprečnik upisane kružnice, $p={\frac {a+b+c}{2}}$ poluobim, pri čemu su stranice $a=y+z,\;b=x+z,\;c=x+y,$ nasuprot temenima ABC, na slici desno.

Dokaz: Povucimo simetrale unutrašnjih uglova trougla ABC. Iz centra upisanog kruga O datog trougla spustimo normale OD, OE, OF na stranice trougla, redom CA = b, AB = c, BC = a. Svaka od tih normala ima dužinu jednaku poluprečniku r upisanog kruga. Za tako dobijene trouglove važe relacije podudarnosti $\Delta AOD\cong \Delta AOE,\;\Delta BOE\cong \Delta BOF,\;\Delta COF\cong \Delta COD.$ Dobijamo:

$\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\frac {r}{AE}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\frac {r}{BF}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\frac {r}{DC}}.$ Sada izrazimo AE, BF, DC pomoću stranica trougla. Prvo imamo $a=y+z,\;b=z+x,\;c=x+y,$ gde su $x=AE=AD,\;y=BF=BE,\;z=CD=CF$ delovi stranica do dodirnih tačaka upisane kružnice. Sabiranjem ovih jednačina dobijamo $\ a+b+c=2(x+y+z),$ ili $x+y+z={\frac {1}{2}}(a+b+c)=p.$ Oduzimanjem svake od prethodnih sa poslednjom jednačinom sledi $p-a=x=AE,\;p-b=y=BF,\;p-c=z=DC,$ i smenom u polazne jednačine dobijamo izraze koje je trebalo dokazati. Kraj dokaza.

Zamenom poluprečnika upisane kružnice odgovarajućim izrazima sa stranicama datog trougla, dobićemo zgodnije formule ove iste teoreme.

Teorema 2

Za trougao ABC važe jednakosti:

$\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}},$

gde su a, b, c stranice trougla ABC nasuprot istoimenim temenima, a p je poluobim.

Dokaz

Polazeći od prethodne teoreme (1) i Heronovog obrazca za površinu trougla $P_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$ i od izraza $\ P_{\Delta }=rp,$ dobijamo $r={\frac {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.$ Zatim slede tražene jednakosti. Kraj dokaza.

Vidi još

• Ravninska trigonometrija
• Planimetrija
• Trougao
• Sinusna teorema
• Kosinusna teorema
• Rešavanje trougla