Figurativni broj

Izraz figurativni broj različiti pisaci koriste za članove različitih skupova brojeva, generalizujući od trougaonih brojeva do različitih oblika (poligonalni brojevi) i različitih dimenzija (polihedralni brojevi). Izraz može da znači

poligonalni broj
broj predstavljen kao diskretni r-dimenzionalni pravilni geometrijski obrazac r-dimenzionalne lopte, kao što je poligonalni broj (za r = 2) ili polihedralni broj (za r = 3).
član podskupa gorenavedenog skupa sadrži samo trougaone brojeve, piramidalne brojeve, i njihove analoge u drugim dimenzijama.^[1]

Terminologija uredi

O nekim vrstama figurativnih brojeva se diskutovalo u 16. i 17. veku pod nazivom figuralni brojevi.^[2]

U istorijskim radovima o Grčkoj matematici najčešće upotrebljivan izraz je figurativni broj.^[3]^[4]

Za upotrebu od Ars Konjektandi Jakoba Bernulija,^[1] termin figurativni broj se koristio za trougaone brojeve sastavljene od uzastopnih celih brojeva, tetraedalnih brojeva sastavljenih od uzastopnih trougaonih brojeva, itd. Ispostavilo se da su ovo binomni koeficijenti. U ovoj upotrebi kvadratni brojevi 4, 9, 16, 25 se ne bi smatrali figurativnim brojevima raspoređenim u kvadrat.

Veliki broj drugih izvora koristi termin figurativni broj kao sinonim za poligonalne brojeve, bez obzira da li je samo uobičajena vrsta ili su oba i centrirani poligonalni brojevi.

Istorija uredi

Matematička istraživanja figurativnih brojeva pokazala su da su oni nastali sa Pitagorom, vrlo verovatno na osnovu vavilonskih ili egipatskih prekursora. Generisanje bilo koje klase figurativnih brojeva Pitagorejci su istraživali koristeći gnomone takođe pripisane Pitagori. Nažalost, ne postoji verodostojan izvor za ove tvrdnje, zbog toga što su svi postojeći spisi o Pitagorejcima^[5] iz kasnijih vekova.^[6] Čini se da je sigurno da je četvrti trougaoni broj od deset objekata, tzv. tetraktis u Grčkoj, bio centralni deo pitagorejske religije, zajedno sa nekoliko drugih ličnosti takođe nazivanih tetraktis. Figurativni brojevi su bili briga pitagorejske geometrije.

Moderna studija figurativnih brojeva seže do Fermata, konkretno teoreme Fermatovog poligonalnog broja. Kasnije, to je postala značajna tema za Ojlera, koji je dao eksplicitnu formulu za sve trougaone brojeve koji su savršeni kvadrati, među mnogim drugim otkrićima u vezi sa figurativnim brojevima.

Figurativi brojevi su imali značajnu ulogu u modernoj rekreativnoj matematici.^[7] U matematičkim istraživanjima, figurativni brojevi su proučavani putem Erhartovih polinoma, polinoma koji računaju broj celobrojnih tačaka u poligonima ili polihedronima kada je prošireno datim faktorom.^[8]

Trougaoni brojevi uredi

Trougaoni brojevi za n = 1, 2, 3, ... su rezultat suprotstavljanja linearnih brojeva (linearnih gnomona) za n = 1, 2, 3, ...:

Ovo su binomni koeficijenti $n+1 \choose 2$ . Ovo je slučaj kada je r=2 činjenice da r-ta dijagonala Paskalovog trougla za $r\geq 0$ sadrži figurativni broj za r-dimenzionalne analoge trougla (r-dimenzionalni simpleksi).

Značajni politopski brojevi za r = 1, 2, 3, 4, ... su:

$P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={n+0 \choose 1}$ (linearni brojevi),
$P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}$ (trougaoni brojevi),
$P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={n+2 \choose 3}$ (tetraedalni brojevi),
$P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={n+3 \choose 4}$ (pentakorični brojevi, pentatopijski brojevi,4-simpleks brojevi),

$...$

$P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)...(n+r-1)}{r!}}={n+r-1 \choose r}$ (r-topski brojevi, r-simlpeks brojevi).

Izrazi kvadratni broj i kubni broj potiču iz njihovog geometrijskog predstavljanja kao kvadrat ili kocka. Razlika dva pozitivna trougaona broja je trapezoidni broj.

Gnomon uredi

Gnomon je deo dodat figuralnom broju da ga transformiše do sledećeg većeg broja.

Na primer, gnomon kvadratnog broja je neparan broj, opšte forme 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3, ... . Kvadrat veličine 8 sastavljen od gnomona izgleda ovako:

8 8 8 8 8 8 8 8

8 7 7 7 7 7 7 7

8 7 6 6 6 6 6 6

8 7 6 5 5 5 5 5

8 7 6 5 4 4 4 4

8 7 6 5 4 3 3 3

8 7 6 5 4 3 2 2

8 7 6 5 4 3 2 1

Za transformaciju iz n-kvadrata (kvadrat veličine n) do (n + 1)-kvadrata, jedan se graniči sa 2n + 1 elemenata: jedan sa krajem svakog reda (n elemenata), jedan sa krajem svake kolone (n elemenata), i jedan jedini sa uglom. Na primer, za transformaciju 7-kvadrata u 8-kvadrat, dodajemo 15 elemenata; ovo graničenje je prikazano na figuri iznad.

Gnomon tehnika takođe obezbeđuje matematički dokaz da je zbir prvih n neparnih brojeva n²; figura ilustruje 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8².

Reference uredi

^ ^a ^b Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers
^ Simpson, J. A.; Weiner, E. S. C., ur. (1992). The Compact Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford, England: Clarendon Press. str. 587. Nedostaje ili je prazan parametar |title= (pomoć)
^ Heath, T., A history of Greek Mathematics by
^ Maziarz, E. A., Greek Mathematical Philosophy
^ Taylor, Thomas, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans
^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C., A History of Mathematics (Second izd.), str. 48
^ Kraitchik, Maurice (2006), Mathematical Recreations (Second Revised izd.), Dover Books, ISBN 978-0-486-45358-3
^ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., str. 15—36, MR 2134759

Literatura uredi

Gazalé, Midhat J. (1999). Gnomon: From Pharaohs to Fractals. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00514-0.
Deza, Elena; Michel Marie Deza (2012). Figurate Numbers, First Edition. World Scientific. ISBN 978-981-4355-48-3.
Heath, Thomas Little (2000). A history of Greek Mathematics: Volume 1. From Thales to Euclid. Adamant Media Corporation. ISBN 978-0-543-97448-8.
Heath, Thomas Little (2000). A history of Greek Mathematics: Volume 2. From Aristarchus to Diophantus. Adamant Media Corporation. ISBN 978-0-543-96877-7.
Dickson, Leonard Eugene (1923), History of the Theory of Numbers (three volume set), Chelsea Publishing Company, Inc., ASIN B000OKO3TK
Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. A History of Mathematics, Second Edition.

[Dickson-1] Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers

[2] Simpson, J. A.; Weiner, E. S. C., ur. (1992). The Compact Oxford English Dictionary (2nd izd.). Oxford, England: Clarendon Press. str. 587. Nedostaje ili je prazan parametar |title= (pomoć)

[3] Heath, T., A history of Greek Mathematics by

[4] Maziarz, E. A., Greek Mathematical Philosophy

[5] Taylor, Thomas, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans

[6] Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C., A History of Mathematics (Second izd.), str. 48

[7] Kraitchik, Maurice (2006), Mathematical Recreations (Second Revised izd.), Dover Books, ISBN 978-0-486-45358-3

[8] Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., str. 15—36, MR 2134759

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]