Квадрат

Квадрат је математички појам присутан у геометрији и алгебри. У геометрији је то геометријска фигура у равни састављена од једнаке четири странице и угла. Он је правилан четвороугао, паралелограм.^[1] Темена се означавају великим словима A, B, C, D, страница малим словом а, дијагонала малим словом d. То је једини правилан многоугао чији су унутрашњи угао, централни угао и спољашњи угао једнаки (90°), а чије су дијагонале једнаке по дужини.^[2]

Квадрат

Полупречник описаног и уписаног круга код квадрата

Особине квадратаУреди

Особине квадрата су:^[3]^[4]

све странице су једнаке
сви углови су прави
дијагонале су једнаке, полове се и секу под правим углом
дужина дијагонале је $d=a{\sqrt {2}}$
обим квадрата је $O=4\cdot a$
површина квадрата је $P=a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
полупречник уписаног круга је $r={\frac {a}{2}}$ , а полупречник описаног је $R={\frac {\ {d}}{2}}$

Обим и површинаУреди

Површина квадрата је производ дужине његових страница.

Обим квадрата чије четири странице имају дужину $\ell$ је

P=4\ell

а површина A је

A=\ell ^{2}.

^[2]

Пошто је четири на квадрат једнако шеснаест, квадрат четири са четири има површину једнаку његовом периметру. Једини други четвороугао са таквим својством је правоугаоник три са шест.

У класично доба, други степен је описан у смислу површине квадрата, као у горњој формули. То је довело до употребе термина квадрат да значи подизање на други степен.

Површина се такође може израчунати коришћењем дијагонале 'd према

A={\frac {d^{2}}{2}}.

У смислу полупречника круга R, површина квадрата је

A=2R^{2};

пошто је површина круга $\pi R^{2},$ квадрат испуњава $2/\pi \approx 0.6366$ његовог описаног круга.^[5]

У смислу радијуса r, површина квадрата је

A=4r^{2};

стога је површина уписаног круга $\pi /4\approx 0.7854$ површине квадрата.

Пошто је то правилан многоугао, квадрат је четвороугао најмањег периметра који обухвата дату област. Двоструко, квадрат је четвороугао који садржи највећу површину унутар датог периметра.^[6] Заиста, ако су A и P површина и обим затворени четвороуглом, онда важи следећа изопериметријска неједнакост:^[7]

16A\leq P^{2}

са једнакошћу ако и само ако је четвороугао квадрат.

Друге чињеницеУреди

Дијагонале квадрата су ${\sqrt {2}}$ (око 1,414) пута дужине странице квадрата. Ова вредност, позната као квадратни корен од 2 или Питагорина константа,^[2] била је први број за који је доказано да је ирационалан.
Квадрат се такође може дефинисати као паралелограм са једнаким дијагоналама које деле углове.
Ако је фигура правоугаоник (прави углови) и ромб (једнаке дужине ивица), онда је она квадрат.
Квадрат има већу површину од било ког другог четвороугла са истим обимом.^[8]
Квадратна плочица је једна од три правилне плочице на равни (остале су једнакостранични троугао и правилан шестоугао).
Квадрат је у две породице политопа у две димензије: хиперкоцка и укрштени политоп. Шлафлијев симбол за квадрат је {4}.
Квадрат је веома симетричан објекат. Постоје четири линије рефлексијске симетрије и има ротациону симетрију реда 4 (кроз 90°, 180° и 270°). Његова група симетрије је диедрална група D₄.
Квадрат се може уписати у било који правилан многоугао. Једини други полигон са овим својством је једнакостранични троугао.
Ако уписани круг квадрата ABCD има додирне тачке E на AB, F на BC, G на CD, и H на DA, онда за било коју тачку P на уписаној кружници важи,^[9]

2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.

Ако је $d_{i}$ растојање од произвољне тачке у равни до i-тог темена квадрата и $R$ је полупречник круга квадрата, онда је^[10]

{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.

Ако су $L$ и $d_{i}$ растојања од произвољне тачке у равни до средишта квадрата и његова четири темена респективно, онда је^[11]

d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})

и

d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),

где је

R

полупречник круга квадрата.

Координате и једначинеУреди

|x|+|y|=2

приказано на картезијанским координатама.

Координате за темена квадрата са вертикалним и хоризонталним страницама, са центром у координатном почетку и са дужином странице 2 су (±1, ±1), док унутрашњост овог квадрата чине све тачке (x_i, y_i) са −1 < x_i < 1 и −1 < y_i < 1. Једначина

\max(x^{2},y^{2})=1

одређује границу овог квадрата. Ова једначина значи „x² или y², које год је веће, једнако је 1.” Полупречник круга овог квадрата (полупречник круга повучен кроз врхове квадрата) је половина дијагонале квадрата и једнак је ${\sqrt {2}}.$ Тада описани круг има једначину

x^{2}+y^{2}=2.

Алтернативно, једначина

\left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.

такође се може користити за описивање границе квадрата са координатама центра (a, b), и хоризонталним или вертикалним полупречником r. Квадрат је стога облик тополошке лопте према L₁ метрици удаљености.

Види јошУреди

РеференцеУреди

^ W., Weisstein, Eric. „Square”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 12. 12. 2017.
^ ^а ^б ^в Weisstein, Eric W. „Square”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-09-02.
^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition". Information Age Publishing.2008. ISBN 978-1-59311-695-8. стр. 59.
^ „Problem Set 1.3”. jwilson.coe.uga.edu. Приступљено 12. 12. 2017.
^ Megiddo, N. (1983). „Linear-time algorithms for linear programming in R³ and related problems”. SIAM Journal on Computing. 12 (4): 759—776. S2CID 14467740. doi:10.1137/0212052.
^ Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
^ Blåsjö, Viktor (2005). „The Evolution of the Isoperimetric Problem”. Amer. Math. Monthly. 112 (6): 526—566. JSTOR 30037526. doi:10.2307/30037526.
^ 1999, Martin Lundsgaard Hansen, thats IT (c). „Vagn Lundsgaard Hansen”. www2.mat.dtu.dk. Приступљено 2017-12-12.
^ „Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.”. gogeometry.com. Приступљено 2017-12-12.
^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
^ Meskhishvili, Mamuka (2020). „Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids”. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340  .