Квадрат

геометријска фигура у равни састављена од једнаке четири странице и угла

Квадрат је математички појам присутан у геометрији и алгебри. У геометрији је то геометријска фигура у равни састављена од једнаке четири странице и угла. Он је правилан четвороугао, паралелограм.[1] Темена се означавају великим словима A, B, C, D, страница малим словом а, дијагонала малим словом d. То је једини правилан многоугао чији су унутрашњи угао, централни угао и спољашњи угао једнаки (90°), а чије су дијагонале једнаке по дужини.[2]

Квадрат
Полупречник описаног и уписаног круга код квадрата

Особине квадратаУреди

Особине квадрата су:[3][4]

  • све странице су једнаке
  • сви углови су прави
  • дијагонале су једнаке, полове се и секу под правим углом
  • дужина дијагонале је  
  • обим квадрата је  
  • површина квадрата је  
  • полупречник уписаног круга је  , а полупречник описаног је  

Обим и површинаУреди

 
Површина квадрата је производ дужине његових страница.

Обим квадрата чије четири странице имају дужину   је

 

а површина A је

 [2]

Пошто је четири на квадрат једнако шеснаест, квадрат четири са четири има површину једнаку његовом периметру. Једини други четвороугао са таквим својством је правоугаоник три са шест.

У класично доба, други степен је описан у смислу површине квадрата, као у горњој формули. То је довело до употребе термина квадрат да значи подизање на други степен.

Површина се такође може израчунати коришћењем дијагонале 'd према

 

У смислу полупречника круга R, површина квадрата је

 

пошто је површина круга   квадрат испуњава   његовог описаног круга.[5]

У смислу радијуса r, површина квадрата је

 

стога је површина уписаног круга   површине квадрата.

Пошто је то правилан многоугао, квадрат је четвороугао најмањег периметра који обухвата дату област. Двоструко, квадрат је четвороугао који садржи највећу површину унутар датог периметра.[6] Заиста, ако су A и P површина и обим затворени четвороуглом, онда важи следећа изопериметријска неједнакост:[7]

 

са једнакошћу ако и само ако је четвороугао квадрат.

Друге чињеницеУреди

 
  • Ако је   растојање од произвољне тачке у равни до i-тог темена квадрата и   је полупречник круга квадрата, онда је[10]
 
  • Ако су   и   растојања од произвољне тачке у равни до средишта квадрата и његова четири темена респективно, онда је[11]
 
и
 
где је   полупречник круга квадрата.

Координате и једначинеУреди

 
  приказано на картезијанским координатама.

Координате за темена квадрата са вертикалним и хоризонталним страницама, са центром у координатном почетку и са дужином странице 2 су (±1, ±1), док унутрашњост овог квадрата чине све тачке (xi, yi) са −1 < xi < 1 и −1 < yi < 1. Једначина

 

одређује границу овог квадрата. Ова једначина значи „x2 или y2, које год је веће, једнако је 1.” Полупречник круга овог квадрата (полупречник круга повучен кроз врхове квадрата) је половина дијагонале квадрата и једнак је   Тада описани круг има једначину

 

Алтернативно, једначина

 

такође се може користити за описивање границе квадрата са координатама центра (a, b), и хоризонталним или вертикалним полупречником r. Квадрат је стога облик тополошке лопте према L1 метрици удаљености.

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ W., Weisstein, Eric. „Square”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 12. 12. 2017. 
  2. ^ а б в Weisstein, Eric W. „Square”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-09-02. 
  3. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition". Information Age Publishing.2008. ISBN 978-1-59311-695-8. стр. 59.
  4. ^ „Problem Set 1.3”. jwilson.coe.uga.edu. Приступљено 12. 12. 2017. 
  5. ^ Megiddo, N. (1983). „Linear-time algorithms for linear programming in R3 and related problems”. SIAM Journal on Computing. 12 (4): 759—776. S2CID 14467740. doi:10.1137/0212052. 
  6. ^ Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
  7. ^ Blåsjö, Viktor (2005). „The Evolution of the Isoperimetric Problem”. Amer. Math. Monthly. 112 (6): 526—566. JSTOR 30037526. doi:10.2307/30037526. 
  8. ^ 1999, Martin Lundsgaard Hansen, thats IT (c). „Vagn Lundsgaard Hansen”. www2.mat.dtu.dk. Приступљено 2017-12-12. 
  9. ^ „Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.”. gogeometry.com. Приступљено 2017-12-12. 
  10. ^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  11. ^ Meskhishvili, Mamuka (2020). „Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids”. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340 . 

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди