Правоугаоник

Правоугаоник
Правоугаоник
	Правоугаоник
Тип	четвороугао, трапез, паралелограм, ортотоп
Ивице и темена	4
Симбол Шлефли	{ } × { }
Дијаграм Кокстера
Симетрична група	Диедрална (D2), [2], (*22), order 4
Двоструки многоугао	ромб
Својства	конвексан, изогоналан, цикличан Супротни углови и странице су подударни

Правоугаоник је четвороугаона геометријска фигура у равни. Спада у класу паралелограма, а следећа два правила важе за сваки правоугаоник: наспрамне странице су по дужини једнаке и паралелне, и суседне странице су нормалне једна на другу (заклапају угао од 90°). Тачан изглед једног правоугаоника је одређен његовом ширином (означено са a на слици десно) и његовом дужином (означено са b на слици десно). Специјалан случај правоугаоника коме су све странице једнаке се назива квадрат.^[1]^[2]^[3]

Правоугаоник. Странице су му a и b, дијагонала је означена са d, а темена су му A, B, C и D

Реч правоугаоник потиче од латинског rectangulus, што је комбинација rectus (као придев, усправан, прав) и angulus (угао).

Укрштени правоугаоник је самопресецајући четвороугао који се састоји од две супротне странице правоугаоника заједно са две дијагонале^[4] (дакле, само две странице су паралелне). То је посебан случај антипаралелограма, а његови углови нису прави углови и нису сви једнаки, иако су супротни углови једнаки. Друге геометрије, као што су сферна, елиптична и хиперболичка, имају такозване правоугаонике са супротним страницама једнаке дужине и једнаким угловима који нису прави углови.

Карактеризације

Конвексни четвороугао је правоугаоник ако и само ако важи једно од следећег:^[5]^[6]

паралелограм са најмање једним правим углом
паралелограм са дијагоналама једнаке дужине
паралелограм ABCD где су троуглови ABD и DCA подударни^[7]
једнакоугаони четвороугао
четвороугао са четири права угла
четвороугао где су две дијагонале једнаке по дужини и деле једна другу на пола^[8]
конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина ${\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$ .^[9]^‍:fn.1
конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.$ ^[9]

Формуле

Површина правоугаоника је P = ab
Обим правоугаоника је O = 2(a+b)
Полуобим правоугаоника је S = (a+b)
Углови између страница и дијагонала: φ₁ = arctg(b/a) и φ₁ = arctg(a/b); φ₁ + φ₂ = π/2.
Углови између дијагонала Θ₁ = π - 2φ₁ и Θ₂ = π - 2φ₂; Θ₁ + Θ₂ = π
r (полупречник описане кружнице) : r = ${\frac {d}{2}}$

Дијагонала правоугаоника

Дијагонала правоугаоника је дуж која спаја два његова темена која немају ни једну заједничку страницу. Правоугаоник има тачно две дијагонале, и оне су једнаких дужина:

$d={\sqrt {(a^{2}+b^{2})}}$

Конструкције правоугаоника

Две странице

Дате су дужине страница a и b. Једно решење:

Конструисати дуж AB дужине a.
У тачки A, нормално на AB, конструисати дуж AD дужине b.
Повући дуж DB.
Симетрала тачке A у односу на средиште DB ће бити C.

Уместо корака 3 и 4 може се конструисати дуж BC, дужине a и нормална на AC, тако да угао ABC буде математички негативно оријентисан.

Страница и угао између ње и дијагонале

Претпоставимо да су дати страница AB и угао α.

Конструисати дуж AB
Из тачке A конструисати полуправу s која са AB заклапа угао α, тако да је угао BAs позитивно оријентисан.
Из тачке B конструисати нормалу н на AB.
Пресек n и s обележити као C.
У A конструисати полуправу n₁ нормалну на AB, тако да је угао ABn₁ позитивно оријентисан
У A конструисати круг k полупречника BC.
Пресек n₁ и kје D.

Уколико су дати страница AB и угао β између друге странице ње и дијагонале, угао α је једнак 90° - β.

Страница и дијагонала

Ако су дате странца, на пример AB, и дужина дијагонале правоугаоника d, конструкција има следећи ток:

Конструисати дуж дужине d и назвати јој темена A и C.
Конструисати круг k₁ који за пречник има дуж AC.
У тачки A конструисати круг k₂ полупречника AB.
Круг k₂ ће сећи k₁ у две тачке. Једна од ове две треба да добије име B тако да је угао ABC негативно математички оријентисан
Од B треба повући полуправу кроз средиште AC. Пресек ове полуправе са кругом k₁ ће бити тачка D.

Остали правоугаоници

Седласти правоугаоник има 4 непланарна врха, наизменично од врхова квадра, са јединственом минималном унутрашњошћу површине дефинисаном као линеарна комбинација четири темена, стварајући површину седла. Овај пример приказује 4 плаве ивице правоугаоника и две зелене дијагонале, а све су дијагонале кубоидних правоугаоних лица.

У сферној геометрији, сферни правоугаоник је фигура чије су четири ивице велики кружни лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини. Површина сфере у еуклидској чврстој геометрији је нееуклидска површина у смислу елиптичке геометрије. Сферна геометрија је најједноставнији облик елиптичке геометрије.

У елиптичкој геометрији, елиптични правоугаоник је фигура у елиптичној равни чије су четири ивице елиптични лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.

У хиперболичној геометрији, хиперболички правоугаоник је фигура у хиперболичној равни чије су четири ивице хиперболички лукови који се састају под једнаким угловима мањим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.

Теселације

Правоугаоник се користи у многим периодичним обрасцима теселације, у зидању, на пример, овим плочицама:

Наслагана веза	Текућа веза	Плетена кошара	Плетена кошара	Патерн рибље кости

Квадратни, савршени и други поплочани правоугаоници

Савршен правоугаоник реда 9

За правоугаоник поплочан квадратима, правоугаоницима или троугловима се каже да је правоугаоник „квадратни“, „правоугаони“ или „троугаони“. Поплочани правоугаоник је савршен^[10]^[11] ако су плочице сличне и ограниченог броја и нема две плочице исте величине. Ако су две такве плочице исте величине, плочица је несавршена. У савршеном (или несавршеном) троуглом правоугаонику троуглови морају бити правоугли. База података свих познатих савршених правоугаоника, савршених квадрата и сродних облика може се наћи на squaring.net.^[12] Најмањи број квадрата који је потребан за савршено поплочавање правоугаоника је 9,^[13] а најмањи број потребан за савршено поплочавање квадрата је 21, пронађен 1978. компјутерском претрагом.^[14]

Правоугаоник има самерљиве странице ако и само ако је поплочан коначним бројем неједнаких квадрата.^[10] Исто важи и ако су плочице неједнаки једнакокраки правоугли троуглови.

Поплочавање правоугаоника другим плочицама које су привукле највећу пажњу су оне конгруентним неправоугаоним полиомима, дозвољавајући све ротације и рефлексије. Постоје и поплочавања конгруентним полиаболима.^[15]^[16]^[17]

Јуникод

U+25AC ▬ Црни правугаоник
U+25AD ▭ Бели правугаоник
U+25AE ▮ Црни вертикални правоугаоник
U+25AF ▯ Бели вертикални правоугаоник

Референце

^ „Archived copy” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 2014-05-14. г. Приступљено 2013-06-20.
^ Definition of Oblong. Mathsisfun.com. Retrieved 2011-11-13.
^ Oblong – Geometry – Math Dictionary. Icoachmath.com. Retrieved 2011-11-13.
^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). „Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401—450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003.
^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 ISBN 1-59311-695-0.
^ Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer (19. 8. 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. стр. 53—. ISBN 978-0-88385-763-2. Приступљено 2011-11-13.
^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. стр. 167. Архивирано из оригинала 29. 10. 2013. г. Приступљено 2. 6. 2017.
^ Gerard Venema, "Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra", MAA, 2013, p. 56.
^ ^а ^б Josefsson Martin (2013). „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 17—21. Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г. Приступљено 17. 07. 2022.
^ ^а ^б R.L. Brooks; C.A.B. Smith; A.H. Stone; W.T. Tutte (1940). „The dissection of rectangles into squares”. Duke Math. J. 7 (1): 312—340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9.
^ J.D. Skinner II; C.A.B. Smith; W.T. Tutte (новембар 2000). „On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 80 (2): 277—319. doi:10.1006/jctb.2000.1987  .
^ squaring.net
^ Sloane, N. J. A. (ур.). „Sequence A219766 (Number of nonsquare simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry)”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ „Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples”. www.squaring.net. Приступљено 2021-09-26.
^ Gardner, Martin (јун 1967). „The polyhex and the polyabolo, polygonal jigsaw puzzle pieces”. Scientific American. 216 (6): 124—132.
^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2nd ed.). Princeton University Press. стр. 101. ISBN 0-691-02444-8.
^ Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, ур. (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. стр. 349. ISBN 1-58488-301-4.

Литература

Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9
„Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Приступљено 2020-09-02.
„Sum of Angles in a Polygon”. Cuemath. Приступљено 22. 6. 2022.
Keady, G.; Scales, P.; Németh, S. Z. (2004). „Watt Linkages and Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 88 (513): 475—492. S2CID 125102050. doi:10.1017/S0025557200176107.
Jobbings, A. K. (1997). „Quadric Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 81 (491): 220—224. JSTOR 3619199. doi:10.2307/3619199.
Beauregard, R. A. (2009). „Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides”. College Mathematics Journal. 40 (1): 17—21. S2CID 122206817. doi:10.1080/07468342.2009.11922331.
Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. стр. 429—430. ISBN 978-1-4419-3145-0.
Josefsson, Martin (2013), „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF), Forum Geometricorum, 13: 17—21, Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г., Приступљено 17. 07. 2022
Josefsson, Martin (2012), „Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13—25
Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). „An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral” (PDF). International Journal of Geometry. 7: 81—86.
Josefsson, Martin (2014). „Properties of equidiagonal quadrilaterals”. Forum Geometricorum. 14: 129—144.
„Inequalities proposed in Crux Mathematicorum (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")” (PDF). Imomath.com. Приступљено 1. 3. 2022.
Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2010). Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America. стр. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1.
John Boris Miller. „Centroid of a quadrilateral” (PDF). Austmd.org.au. Приступљено 1. 3. 2022. <
Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 9780883858394.
David, Fraivert (2019), „Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral”, The Mathematical Gazette, 103 (557), S2CID 233360695, doi:10.1017/mag.2019.54
David, Fraivert (2019), „A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles”, Journal for Geometry and Graphics, 23
David, Fraivert (2017), „Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals” (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509—526, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022
Josefsson, Martin (2013). „Characterizations of Trapezoids” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 23—35. ^{[мртва веза]}
Barnett, M. P.; Capitani, J. F. (2006). „Modular chemical geometry and symbolic calculation”. International Journal of Quantum Chemistry. 106 (1): 215—227. Bibcode:2006IJQC..106..215B. doi:10.1002/qua.20807.
Hamilton, William Rowan (1850). „On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order” (PDF). Proceedings of the Royal Irish Academy. 4: 380—387.
Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (март 2010). „A Congruence Problem for Polyhedra”. American Mathematical Monthly. 117 (3): 232—249. S2CID 8166476. arXiv:0811.4197  . doi:10.4169/000298910X480081.
Creech, Alexa. „A Congruence Problem” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 11. 11. 2013. г.
Franco P. Preparata and Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry – An Introduction. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96131-3. 1st edition: ; 2nd printing, corrected and expanded, 1988.

Спољашње везе

Weisstein, Eric W. „Rectangle”. MathWorld.
Definition and properties of a rectangle with interactive animation.
Area of a rectangle with interactive animation.

[1] „Archived copy” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 2014-05-14. г. Приступљено 2013-06-20.

[2] Definition of Oblong. Mathsisfun.com. Retrieved 2011-11-13.

[3] Oblong – Geometry – Math Dictionary. Icoachmath.com. Retrieved 2011-11-13.

[4] Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). „Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401—450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003.

[5] Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 ISBN 1-59311-695-0.

[6] Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer (19. 8. 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. стр. 53—. ISBN 978-0-88385-763-2. Приступљено 2011-11-13.

[7] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. стр. 167. Архивирано из оригинала 29. 10. 2013. г. Приступљено 2. 6. 2017.

[8] Gerard Venema, "Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra", MAA, 2013, p. 56.

[Josefsson-9] а ^б Josefsson Martin (2013). „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 17—21. Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г. Приступљено 17. 07. 2022.

[BSST-10] а ^б R.L. Brooks; C.A.B. Smith; A.H. Stone; W.T. Tutte (1940). „The dissection of rectangles into squares”. Duke Math. J. 7 (1): 312—340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9.

[11] J.D. Skinner II; C.A.B. Smith; W.T. Tutte (новембар 2000). „On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 80 (2): 277—319. doi:10.1006/jctb.2000.1987  .

[12] squaring.net

[13] Sloane, N. J. A. (ур.). „Sequence A219766 (Number of nonsquare simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry)”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[14] „Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples”. www.squaring.net. Приступљено 2021-09-26.

[15] Gardner, Martin (јун 1967). „The polyhex and the polyabolo, polygonal jigsaw puzzle pieces”. Scientific American. 216 (6): 124—132.

[16] Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2nd ed.). Princeton University Press. стр. 101. ISBN 0-691-02444-8.

[17] Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, ур. (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. стр. 349. ISBN 1-58488-301-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]