Ромб

(преусмерено са Rhombus)

Ромб је у геометрији четвороугао из класе паралелограма коме су све странице једнаких дужина. Карактерише га произвољна величина угла између две његове стране, која може да варира у реалном интервалу (0,π). Специјалан случај ромба коме су странице нормалне једна на другу је квадрат.[1][2]

Ромб
Rhombus.svg
Ромб у две различите оријентације
Типчетвороугао, трапез, паралелограм, змај
Ивице и темена4
Дијаграм КокстераCDel node 1.pngCDel sum.pngCDel node 1.png
Симетрична групадиедрална (D2), [2], (*22), ред 4
Површина (пола производа дијагонала)
Двоструки многоугаоправоугаоник
Својстваконвексан, изотоксалан

Ромб се често назива „дијамант“, по дијаманатима шпила карта за играње где један од симбола подсећа на пројекцију октаедарског дијаманта или ромб, иако се дијамант понекад посебно односи на ромб са углом од 60° (који неки аутори називају калисон по француском слаткишу[3] &ndash види и полиамонд), а ово друго се понекад односи на ромб са углом од 45°.

ФормулеУреди

 
Ромб и његови значајнији елементи: Темена A, B, C и D, дужине страница a, висина h, дијагонале d1 и d2 и углови α и β.
Висина  
 
Обим  
Површина  
Дијагонале  
 
Полупречник уписане
кружнице
 

УгловиУреди

Из једнакости страна следи да су наспрамни углови ромба једнаки, што значи да постоје само две различите величине углова између страна ромба: α и β.

 

Са друге стране правило о збиру углова у четвороуглу једнозначно одређује вредност величине другог угла, уколико је први познат, те је ромб одређен само са дужином странице и једним углом:

 
 

Углови између дијагонала ромба су прави тј. једнаки 90°.

ЕтимологијаУреди

Реч „ромб” долази од стгрч. ῥόμβος, што значи нешто што се окреће,[4] што потиче од глагола ῥέμβω, романизованог: rhémbō, што значи „окретати се у круг“.[5] Реч су користили и Еуклид и Архимед, који су користили термин „правоугани ромб“ за биконус, два десна кружна конуса који деле заједничку основу.[6]

Површина која се данас назива ромб је попречни пресек биконуса на равни кроз врхове два конуса.

КарактеризацијеУреди

Једноставан четвороугао (код ког нема самопресецања) је ромб ако и само ако важи једно од следећег:[7][8]

  • паралелограм у коме дијагонала дели унутрашњи угао на пола
  • паралелограм у коме су најмање две узастопне странице једнаке по дужини
  • паралелограм у коме су дијагонале окомите (ортодијагонални паралелограм)
  • четвороугао са четири странице једнаке дужине (по дефиницији)
  • четвороугао у коме су дијагонале нормалне и деле једна другу половину
  • четвороугао у коме свака дијагонала дели два супротна унутрашња угла
  • четвороугао ABCD који има тачку P у својој равни тако да су четири троугла ABP, BCP, CDP, и DAP сви подударни[9]
  • четвороугао ABCD у коме уписане кружнице у троугловима ABC, BCD, CDA и DAB имају заједничку тачку.[10]

Основна својстваУреди

Сваки ромб има две дијагонале које спајају парове супротних темена и два пара паралелних страница. Користећи подударне троуглове, може се доказати да је ромб симетричан преко сваке од ових дијагонала. Из тога следи да било који ромб има следећа својства:

  • Супротни углови ромба имају једнаку меру.
  • Две дијагонале ромба су нормалне; односно ромб је ортодијагонални четвороугао.
  • Његове дијагонале секу супротне углове.

Прво својство имплицира да је сваки ромб паралелограм. Ромб стога има сва својства паралелограма: на пример, супротне стране су паралелне; суседни углови су допунски; две дијагонале секу једна другу; било која линија која пролази кроз средину дели област на пола; а збир квадрата страница једнак је збиру квадрата дијагонала (закон паралелограма). Стога се означава заједничка страна као a, а дијагонале као p и q, у сваком ромбу

 

Није сваки паралелограм ромб, иако је сваки паралелограм са нормалним дијагоналама (друго својство) ромб. Генерално, сваки четвороугао са нормалним дијагоналама, од којих је једна линија симетрије, је змај. Сваки ромб је змај, а сваки четвороугао који је и змај и паралелограм је ромб.

Ромб је тангенцијални четвороугао.[11] То јест, има уписан круг који је тангентан на све четири стране.

 
Ромб. Сваки угао означен црном тачком је прави угао. Висина h је нормално растојање између било које две несуседне странице, које је једнако пречнику уписаног круга. Дијагонале дужина p и q су црвени испрекидани сегменти.

ДијагоналеУреди

Дужина дијагонала p = AC и q = BD може се изразити преко стране ромба a и једног теменог угла a као

 

и

 

Ове формуле су директна последица закона косинуса.

Уписани полупречникУреди

Инрадијус (полупречник круга уписаног у ромб), означен са r, може се изразити дијагоналамаp и q као[11]

 

или у смислу дужине странице a и било ког вршног угла α или β ас

 

ПовршинаУреди

Као и за све паралелограме, површина K ромба је производ његове основе и висине (h). Основа је једноставно било која дужина странице a:

 

Површина се такође може изразити као база на квадрат пута синус било ког угла:

 

или у смислу висине и теменог угла:

 

или као половина производа дијагонала p, q:

 

или као полупериметар пута полупречник круга уписаног у ромб (инрадијус):

 

Други начин, који је заједнички са паралелограмима, је да се две суседне странице сматрају векторима, формирајући бивектор, те је површина величина бивектора (величина векторског производа два вектора), која је детерминанта два вектора Декартовске координате вектора: K = x1y2x2y1.[12]

Декартова једначинаУреди

Странице ромба са центром у координатном почетку, са дијагоналама које падају на осе, састоје се од свих тачака (x, y) које задовољавају

 

Темена су у   и   Ово је посебан случај суперелипсе, са експонентом 1.

Остала својстваУреди

Као тополошко квадратно поплочавање Као ромбно поплочавање са 30-60 степени
     
Неки полиедри са свим ромбичним лицима
Изоедарски полиедри Неизоедарски полиедри
Идентични ромбови Идентични златни ромбови Два типа ромба Три типа ромба
         
Ромбни додекаедар Ромбни триакотаедар Ромбни икосаедар Ромбни енеаконтаедар Ромбоедар

РеференцеУреди

  1. ^ Note: Euclid's original definition and some English dictionaries' definition of rhombus excludes squares, but modern mathematicians prefer the inclusive definition.
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Square”. MathWorld.  inclusive usage
  3. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (31. 12. 2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. ISBN 9781614442165. 
  4. ^ ῥόμβος Архивирано 2013-11-08 на сајту Wayback Machine, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  5. ^ ρέμβω Архивирано 2013-11-08 на сајту Wayback Machine, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  6. ^ „The Origin of Rhombus”. Архивирано из оригинала на датум 2015-04-02. Приступљено 2005-01-25. 
  7. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition Архивирано 2020-02-26 на сајту Wayback Machine", Information Age Publishing, 2008, pp. 55-56.
  8. ^ Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry Архивирано 2019-09-01 на сајту Wayback Machine, Mathematical Association of America, 2010, p. 53.
  9. ^ Paris Pamfilos (2016), "A Characterization of the Rhombus", Forum Geometricorum 16, pp. 331–336, [1] Архивирано 2016-10-23 на сајту Wayback Machine
  10. ^ „IMOmath, "26-th Brazilian Mathematical Olympiad 2004" (PDF). Архивирано (PDF) из оригинала на датум 2016-10-18. Приступљено 2020-01-06. 
  11. ^ а б Weisstein, Eric W. „Rhombus”. MathWorld. 
  12. ^ WildLinAlg episode 4 Архивирано 2017-02-05 на сајту Wayback Machine, Norman J Wildberger, Univ. of New South Wales, 2010, lecture via youtube

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди