Hamiltonijan

Hamiltonijan u fizici je funkcija ili operator, u zavisnosti od toga da li se koristi u kontekstu klasične ili kvantne mehanike, koji je od centralnog značaja za opis vremenske evolucije u fizici.

Prvi sistem opisan Hamiltonovim formalizmom bilo je matematičko klatno.

Hamiltonijan je u fiziku uveden kada je uviđeno da je Njutnove zakone kretanja lakše predstaviti preko neke održane veličine u tom kretanju. Jedna od često održanih veličina pri kretanju je energija. Hamiltonijan je funkcija koja ima značenje energije. Hamiltonijan $H(q_{i},p_{i},t)$ izražava se preko generalisanih koordinata ($q_{i}$), generalisanih impulsa ($p_{i}$) i vremena ($t$).

Hamiltonov formalizam preko Hamiltonijana koristi se u velikom broju oblasti u fizici u problemima pri kojima je disipacija zanemarljiva, kao što su kvantna mehanika, elektromagnetizam, statistička mehanika, kvantna teorija polja, itd.

Hamiltonov formalizam

Mehaničko kretanje čestica se može objasniti korišćenjem Njutnovih zakona i rešavanjem diferencijalnih jednačina koje uključuju sve sile koje se nalaze u sistemu, dobijaju se zakoni kretanja tela. Nekad je probleme kretanja nemoguće rešiti analitički, ali Njutnov pristup rešavanju uvek daje barem numeričko rešenje za probleme kretanja tela. Njutnov pristup se i danas se koristi u mnogim primenama, kao u inženjerstvu, mašinstvu, itd.

Tokom 18-og i 19-og veka, Ojler, Lagranž, Hamilton, Jakobi i mnogi drugi su Njutnove zakone predstavili na drugi način, bez razmatranja sila, a posmatranjem fizičkih veličina koje se održavaju u kretanju (tzv. konstante kretanja). Hamiltonijan je u fiziku uveden 1833. godine kao funkcija generalisanih koordinata ($q_{i}$), generalisanih impulsa ($p_{i}$) i vremena ($t$) koja ima značenje energije. Slično je Lagranžijan uveden 1788. godine kao funkcija generalisanih koordinata ($q_{i}$), generalisanih brzina (${\dot {q}}_{i}$) i vremena ($t$).

Prednost Lagranževog formalizma u odnosu na Njutnov formalizam je što razmatrajući simetrije koje već postoje u sistemu (razmatranjem konstanti kretanja), jednačine kretanja u njima imaju jednostavniji oblik. Oblik jednačina kretanja u novim formalizmima je posebno jednostavniji u sistemima u kojima postoje ograničenja na položaje i brzine. Današnja klasična teorijska mehanika je formulisana u Lagranževom i Hamiltonovom formalizmu. Hamiltonov i Lagranžev formalizam su ekvivalentni u smislu da postoji transformacija (Ležandrova transformacija) pomoću koje se prelazi iz jednog u drugi.

Posebni značaj Hamiltonovog formalizma i razlog zašto se i dodatno i on koristi u klasičnoj mehanici (iako je ekvivalentan sa Lagranževim formalizmom u kojem i same jednačine kretanja imaju jednostavniji oblik od oblika u Hamiltonovom formalizmu), leži u tome što se ovim pristupom može formulisati kvantna mehanika. Time se pri formulaciji i razumevanju kvantne mehanike može napraviti analogija sa klasičnom mehanikom.

Hamiltonijan u klasičnoj fizici

U klasičnoj fizici Hamiltonijan je definisan kao Ležandrova transformacija Lagranžijana. Kako je Lagranžijan $L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ funkcija generalisanih koordinata ($q_{i}$), generalisanih brzina (${\dot {q}}_{i}$) i vremena ($t$), u situaciji u kojoj je pogodnije koristiti generalisane impulse ($p_{i}$) umesto brzina, potrebno je zadatak preformulisati preko novih promenljivih. Transformacija kojom se zavisnost od generalisanih brzina smenjuje zavisnošću od generalisanih impulsa je Ležandrova transformacija. Hamiltonijan se definiše kao:

$H(q_{i},p_{i},t)=\sum _{k=1}^{n}p_{k}{\dot {q}}_{k}-L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$

, gde $i=1...n$, n je broj stepeni slobode sistema, $L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ Lagranžijan sistema, a $q_{i},{\dot {q}}_{i},p_{i},t$ generalisane koordinate, generalisane brzine, generalisani impulsi i vreme, respektivno. Veza između generalisanih koordinata i generalisanih impulsa se dobija iz sistema jednačina:

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

, gde je $p_{i}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$

U slučaju kada je kinetička energija sistema homogena kvadratna funkcija generalisanih brzina, Hamiltonijan je jednak ukupnoj energiji sistema. Ovo je čest slučaj i Hamiltonijan se često poistovećuje sa ukupnom energijom sistema.

Hamiltonove jednačine

Hamiltonove ili kanonske jednačine kretanja su jednačine kretanja izražene u Hamiltovom formalizmu:

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+Q_{i}^{nepot}$

${\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial t}}$

, gde $Q_{i}^{nepot}$ predstavlja nepotencijalne generalisane sile. Ove jednačine pružaju nekoliko pogodnosti, među kojima su da impulsi i koordinate figurišu simetrično u jednačinama i da su jednačine diferencijalne jednačine prvog reda, za razliku od diferencijalnih jednačina drugog reda u Njutnovom formalizmu. Od $n$ jednačina drugog reda u Njutnovom i Lagranževom formalizmu, dobijaju se $2n$ jednačina prvog reda u Hamiltonovom formalizmu. Da bi se Hamiltonove jednačine rešile, potrebno je znati $2n$ početnih uslova.

$p_{i}(t=0)=p_{0i},\quad q_{i}(t=0)=q_{0i}$

Hamiltonijan u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici hamiltonijan je hermitski operator i pridružen je opservabli energije. Vremensku evoluciju kvantnog sistema diktira hamiltonijan preko Šredingerove jednačine

$i\hbar {\frac {\partial |\psi \rangle }{\partial t}}={\hat {H}}|\psi \rangle$

, gde je ${\hat {H}}$ hamiltonijan, a$|\psi \rangle$ stanje sistema.

Kako hamiltonijan predstavlja energiju, njegove svojstvene vrednosti predstavljaju moguće energije koje sistem može da poseduje. Svaka opservabla čiji operator komutira sa hamiltonijanom predstavlja održanu veličinu.