1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
U matematici, 1 − 2 + 4 − 8 + ... je beskonačan red čiji članovi su uzastopna stepen dvojke sa naizmeničnim znacima. Kao geometrijski red, okarakterisan je svojim prvim članom, 1, i svojom količnikom, −2.
Kako red realnih brojeva divergira, tako u uobičajenom smislu nema sumu. U mnogo širem smislu, serija ima opšti zbir ⅓.
Istorijski argumenti
urediGotfrid Lajbnic je smatrao naizmenični divergentni red 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ... već 1673. On je tvrdio da bi se oduzimanjem, ili sleva ili zdesna, mogla proizvesti pozitivna ili negativna beskonačnost, a samim tim oba odgovora su pogrešna i sve treba da bude konačno:
- "Sada normalno priroda bira sredinu, ako ni jedno od ta dva nije dozvoljeno, odnosno ako se ne može utvrditi koje od njih je dozvoljeno, cela je jednaka konačnoj količini. "
Lajbnic nije baš tvrdio da je niz imao zbir, ali je zaključio vezu sa ⅓ sledećeg Merkatorovog metoda.[1][2] Stav da je serija mogla biti neka konačna količina bez stvarnog dodavanja do nje kao suma bi bila uobičajena u 18. veku, mada se ne pravi razlika u modernoj matematici.[3]
Nakon što je Kristijan Volf pročitao Lajbnicovo tumačenje Grandijevog niza usred 1712. godine,[4] Volf je bio toliko zadovoljan rešenjem da je nastojao da proširi aritmetički metod do više divergentnog reda kao što je 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − .... Ukratko, ako neko izražava parcijalnu sumu ovog reda kao funkciju pretpostavljenih članova, dobija se ili (4m + 1)/3 ili (−4n + 1)/3. Aritmetička sredina ovih vrednosti je (2m − 2n + 1)/3, i pod pretpostavkom da je m=n u beskonačnosti daje ⅓ kao vrednost serije. Lajbnicova insitucija ga je sprečavala da napreže svoje rešenje ovako daleko, i on je napisao da je Volfova ideja bila interesantna, ali nevažeća iz nekoliko razloga. Aritmetička sredstva susednih parcijalnih suma ne konvergiraju do posebnih vrednosti, i za sve konačne slučajeve imamo da je n=2m, ne n=m. Generalno, član redova koji se mogu sabirati treba da se smanji do nule; čak se 1 − 1 + 1 − 1 + ... može izraziti kao granica takvog niza. Lajbnic savetuje Volfa da razmotri to da on može da proizvede nešto vredno od nauke i sebe.[5]
Moderne metode
urediGeometrijski red
urediU ovom slučaju a = 1 i r = −2, tako da je zbir ⅓.
Ojlerovo sabiranje
urediU njegovim Institutions iz 1755. godine, Leonard Ojler je efektivno uzeo ono što se sada zove Ojlerova transformacija 1 − 2 + 4 − 8 + ..., dolazeći do konvergentnih redovi ½ − ¼ + ⅛ − 1/16 + .... Kako je kasniji zbir ⅓, Ojler je zaključiio da je 1 − 2 + 4 − 8 + ... = ⅓.[6] Njegove ideje za beskonačni red ne prate slepo poderni pristup; danas se kaže da je 1 − 2 + 4 − 8 + ... moguće sabrati pomoću Ojlerovog sabiranja i tada je Ojlerov zbir ⅓.[7]
Ojlerova transformacija počinje redom pozivitnih članova:
- a0 = 1,
- a1 = 2,
- a2 = 4,
- a3 = 8, ...
Red konačne razlike je onda
- Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1,
- Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2,
- Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4,
- Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8, ...,
što je isti red. Otuda ponovljena malopređašnja razlika redova koji počinju sa Δna0 = 1 za svako n. Ojlerova transformacija je niz
Ovo je konverentni geometrijski red čiji je zbir ⅓ po uobičajenoj formuli.
Borel zbir
urediBorel zbir 1 − 2 + 4 − 8 + ... je takođe ⅓; kada je Emil Borel uveo granično formulisanje Borelovog zbira 1896. godine, ovo je bio jedan od prvih njegovih primera posle 1 − 1 + 1 − 1 + ...[8]
Reference
uredi- ^ Leibniz 2003, str. 205–207
- ^ Knobloch 2006, str. 124–125
- ^ Ferraro & Panza 2003, str. 21
- ^ Wolff's first reference to the letter published in the Acta Eruditorum appears in a letter written from Halle, Saxony-Anhalt dated 12 June 1712; Gerhardt pp. 143–146.
- ^ The quotation is Moore's (pp. 2–3) interpretation; Leibniz's letter is in Gerhardt pp. 147–148, dated 13 July 1712 from Hanover.
- ^ Euler 1755, str. 234.
- ^ See Korevaar pp. 325.
- ^ Smail 1925, str. 7.
Literatura
uredi- Euler, Leonhard (1755). Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum.
- Ferraro, Giovanni; Panza, Marco (februar 2003). „Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis”. Historia Mathematica. 30 (1): 17—46. doi:10.1016/S0315-0860(02)00017-4.
- Gerhardt, C.I. (1860). Briefwechsel zwischen Leibniz und Christian Wolf aus den handschriften der Koeniglichen Bibliothek zu Hannover. Halle: H.W. Schmidt.
- Knobloch, Eberhard (2006). „Beyond Cartesian limits: Leibniz’s passage from algebraic to "transcendental" mathematics”. Historia Mathematica. 33: 113—131. doi:10.1016/j.hm.2004.02.001.
- Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 978-3-540-21058-0.
- Leibniz, Gottfried (2003). S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke, ur. Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen. Akademie Verlag. ISBN 978-3-05-004003-5. Arhivirano iz originala 17. 10. 2013. g. Pristupljeno 15. 01. 2016.
- Moore, Charles (1938). Summable Series and Convergence Factors. AMS. LCC QA1 .A5225 V.22.
- Smail, Lloyd (1925). History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. LCC QA295 .S64.