Хевисајдова функција

Хевисајдова функција (звана и јединична одскочна функција), названа у славу Оливера Хевисајда, је прекидна функција која има вредност нула за негативне вредности аргумента и један за позитивне вредности аргумента:

Хевисајдова функција приказана уз конвенцију да је вредност функције за x=0 једнака 0,5

$u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x>0\end{cases}}$

Функција се користи у математици система управљања и обради сигнала да би се представио сигнал који мења стање (укључује се или се искључује) у одређено време и остаје у том стању бесконачно дуго.

Хевисајдова функција представља функцију расподеле случајне променљиве која скоро сигурно има вредност 0.

Хевисајдова функција је интеграл Диракове делта функције.

$u(x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}dt$

Није усвојена јединствена дефиниција за вредност u(0). Неки аутори дају u(0) = 0, неки u(0) = 1. Различите вредности имају смисла у различитим интерпретацијама Хевисајдове функције. u(0) = 1/2 је можда најприхваћенија вредност, јер се тако максимизира симетрија функције, и постаје потпуно конзистентна са сигнум функцијом. Овим долазимо до следеће дефиниције:

$u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}$

$u(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)$

Често је корисна и интегрална представа одскочне функције:

$u(x)=\lim _{\epsilon \to 0}-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\epsilon }e^{-ix\tau }d\tau$

Дискретни облик

Можемо такође дефинисати и алтернативни облик јединичне одскочне функције дискретне променљиве n:

$u[n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}$

где је n цео број.

Ова функција је кумулативна сума Кронекер делта функција:

$u[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,$

где је

$\delta [k]=\delta _{k,0}\,$

функција дискретног јединичног импулса.