U matematici, i specifičnije opštoj topologiji, kompaktnost je svojstvo koje generalizuje pojam podskupa Euklidovog prostora[1] koji je zatvoren (da sadrži sve svoje granične tačke) i ograničen (onaj kod koga sve njegove tačke leže na datom fiksnom rastojanju jedna od druge). Primeri su zatvoreni interval, četvorougao, ili konačni set tačaka. Ovaj je pojam definisan za opštije topološke prostore, nego što je Euklidov prostor na razne načine.[2][3]

Interval A = (−∞, −2] nije kompaktan zato što nije ograničen. Interval C = (2, 4) nije kompktan zato što nije zatvoren. Interval B = [0, 1] je kompaktan zato što je zatvoren i ograničen.

Jedna takva generalizacija je da je topološki prostor sekvencijalno kompaktan ako svaki infinitivni niz tačaka uzet kao uzorak prostora ima beskonačni podniz koji konvergira u istu tačku prostora.[4] Bolcano-Vajerštrasova teorema navodi da je podskup Euklidovog prostora kompaktan u ovom sekvencijalnom smislu ako i samo ako je zatvoren i ograničen.[3] Stoga, ako se izabere beskonačan broj tačaka u zatvorenom jediničnom intervalu [0, 1] neke od tih tačaka će biti proizvoljno blizo nekim realnom broju u tom prostoru. Na primer, neki od brojeva 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, … se akumuliraju do 0 (drugi se akumuliraju do 1). Isti skup tačaka se ne bi akumulirao do bilo koje tačke otvorenog jediničnog intervala (0, 1); tako da otvoreni jedinični interval nije kompaktan. Sam Euklidov prostor nije kompaktan, jer nije ograničen. Na primer, niz tačaka 0, 1, 2, 3, … nije niz koji konvergira u bilo koji realni broj.[2]

Osim zatvorenih i ograničenih podskupova Euklidovog prostora, tipični primeri kompaktnih prostora obuhvataju prostore koji se ne sastoje od geometrijskih tačaka već od funkcija. Termin kompaktan je uveo u matematiku Moris Freše 1904. godine kao destilaciju ovog koncepta. Kompaktnost u ovoj generalnijoj situaciji igra ekstremno važnu ulogu u matematičkoj analizi, zato što se mnoge klasične i važne teoreme analize 19. veka, kao što je teorema ekstremne vrednosti,[5] lako generalizuju u ovoj situaciji. Tipičnu primenu pruža Arcela-Askolijeva teorema[6][7][8] ili Peanova teorema postojanja,[9][10] prema kojoj je moguće izvesti zaključak o postojanju funkcije s nekim traženim svojstvima kao ograničavajući slučaj date elementarnije konstrukcije. Nakon njegovog početnog uvođenja, različiti ekvivalentni pojmovi kompaktnosti, uključujući sekvencijalnu kompaktnost i kompaktnost granične tačke, razvijeni su u opštim metričkim prostorima.[11]

Istorijski razvoj

уреди

U 19. veku je formulisano nekoliko različitih matematičkih svojstava koja će se kasnije smatrati posledicama kompaktnosti. S jedne strane, Bernard Bolkano (1817) je bio svestan da svaki ograničeni niz tačaka (na primer, na pravoj ili ravni) ima podniz koji se na kraju mora proizvoljno približiti nekoj drugoj tački, koja se zove granična tačka. Bolzanov dokaz se oslanjao na metodu bisekcije: niz je stavljen u interval koji je zatim podeljen na dva jednaka dela, i deo koji sadrži beskonačno mnogo članova niza je izabran. Proces bi se zatim mogao ponoviti deljenjem rezultujućeg manjeg intervala na sve manje i manje delove - dok se ne zatvori na željenoj graničnoj tački. Potpuni značaj Bolcanove teoreme i njenog metoda dokazivanja pojaviće se tek skoro 50 godina kasnije kada je to ponovo otkrio Karl Vajerštras.[12]

Tokom 1880-ih postalo je jasno da se rezultati slični Bolcano-Vajerštrasovoj teoremi mogu formulisati za prostore funkcija, a ne samo za brojeve ili geometrijske tačke. Ideja da se funkcije posmatraju kao same tačke generalizovanog prostora datira još od istraživanja Đulija Askolija i Čezara Arzele.[13] Vrhunac njihovih istraživanja, Arzela-Askolijeva teorema, bila je generalizacija Bolcano-Vajerštrasove teoreme na porodice neprekidnih funkcija, čiji je precizan zaključak bio da je moguće eksrahovati uniformno konvergentan niz funkcija iz odgovarajuće porodice funkcija. Uniformna granica ovog niza je tada igrala potpuno istu ulogu kao i Bolcanova „granična tačka“. Početkom dvadesetog veka, rezultati slični onima Arzele i Askolija počeli su da se akumuliraju u oblasti integralnih jednačina, kao što su istraživali David Hilbert i Erhard Šmit. Za određenu klasu Grinovih funkcija koje potiču iz rešenja integralnih jednačina, Šmit je pokazao da se osobina analogna Arzela-Askolijevoj teoremi održava u smislu srednje konvergencije — ili konvergencije u onome što će kasnije biti nazvano Hilbertov prostor. Ovo je na kraju dovelo do pojma kompaktnog operatora kao izdanka opšteg pojma kompaktnog prostora. Moris Freše je bio taj koji je 1906. godine destilirao suštinu Bolcano–Vajerštrasovog svojstva i skovao termin kompaktnost da bi se odnosio na ovaj opšti fenomen (on je koristio taj termin već u svom radu iz 1904. godine[14] koji je doveo do čuvene teze iz 1906. godine).

Reference

уреди
  1. ^ „Compactness”. Encyclopaedia Britannica. mathematics (на језику: енглески). Приступљено 2019-11-25 — преко britannica.com. 
  2. ^ а б Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd изд.). New York: J. Wiley. 
  3. ^ а б Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd изд.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-37603-1. 
  4. ^ Engelking, Ryszard (1977). General Topology. Warsaw, PL: PWN. стр. 266. 
  5. ^ Protter, M. H.; Morrey, C. B. (1977). „The Boundedness and Extreme–Value Theorems”. A First Course in Real Analysis. New York: Springer. стр. 71—73. ISBN 0-387-90215-5. 
  6. ^ Arzelà, Cesare (1895), „Sulle funzioni di linee”, Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., 5 (5): 55—74 .
  7. ^ Arzelà, Cesare (1882—1883), „Un'osservazione intorno alle serie di funzioni”, Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. dell'Istituto di Bologna: 142—159 .
  8. ^ Ascoli, G. (1883—1884), „Le curve limite di una varietà data di curve”, Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., 18 (3): 521—586 .
  9. ^ Peano, G. (1886). „Sull'integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine”. Atti Accad. Sci. Torino. 21: 437—445. 
  10. ^ Peano, G. (1890). „Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires”. Mathematische Annalen. 37 (2): 182—228. S2CID 120698124. doi:10.1007/BF01200235. 
  11. ^ „Sequential compactness”. www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk. MT 4522 course lectures. Архивирано из оригинала 13. 08. 2022. г. Приступљено 2019-11-25. 
  12. ^ Kline 1990, стр. 952–953; Boyer & Merzbach 1991, стр. 561
  13. ^ Kline 1990, Chapter 46, §2
  14. ^ Frechet, M. 1904. Generalisation d'un theorem de Weierstrass. Analyse Mathematique.

Literatura

уреди

Spoljašnje veze

уреди