Navje–Stoksove jednačine predmet su velikog interesovanja u matematici. Iako to može da deluje iznenađujuće, zbog njihove široke praktične upotrebe, matematičari još nisu dokazali da rešenja u tri dimenzije uvek postoje ( postojanje), ili da ako postoje one ne sadrže beskonačnosti, singularnosti ili diskontinuitete (prekide). Ovi problemi nazivaju se problemi postojanja i glatkoće Navje–Stoksovih jednačina. Matematički institut Klej ovaj problem nazvao je jednim od sedam najznačajnijih otvorenih problema u matematici, te je ponudio nagradu od 1.000.000 dolara za rešenje ili kontra-primer.[1][2]
Većina radova na Navje–Stoksovim jednačinama rađena je po pretpsotavkom nestišljivog strujanja za njutnove fluide. Pretpostavke nestišljivog strujanja često važe čak i kada se radi sa stišljivim fluidom, kao što je vazduh na sobnoj temperaturi (čak i kada struji brzinom do oko Maha 0,3). Uzimajući pretpostavku nestišljivog strujanja u obzir, te ako se pretpostavi da je viskoznost konstantna, Navje–Stoksove jednačine će glasiti[3] (u vektorskom obliku):
Može se uočiti da je gravitacija uvrštena kao masena sila, te da će vrednosti zavisiti od orijentacije gravitacije u odnosu na odabrane koordinate.
Jednačina kontinuiteta glasi:
Može se uočiti da su komponente brzine (zavisne varijable za koje će problem biti rešen) , i . Ovaj sistem od četiri jednačine predstavlja najčešće korišteni i proučavani oblik. On predstavlja nelinearni sistemparcijalnih diferencijalnih jednačina, čija rešenja je prilično teško pronaći.
Promenom varijabli u jednačinama u pravouglom koordinatnom sistemu dobijaju se[3] sledeće momentne jednačine za r, θ i z:
Komponente gravitacije, generalno, neće biti konstantne, međutim, za većinu primena se, ili koordinate izaberu tako da komponente gravitacije budu konstantne ili se pretpostavi da se gravitaciji suprostavlja polje pritiska (na primer, strujanje u horizontalnoj cevi se tretira normalno, bez gravitacije i bez gradijenta vertikalnog pritiska). Jednačina kontinuiteta glasi:
Ovo predstavljanje Navje–Stoksovih jednačina za nestišljivo strujanje u cilindričnim koordinatama je drugo po frekvenciji pojavljivanja i korištenja u teoriji i praksi (prvo je bilo predstavljanje u pravougaonim koordinatama, opisano iznad). Cilindrične koordinate se biraju kako bi se iskoristila simetrija, tako da se komponente brzine mogu poništiti. Vrlo čest primer osno simetričnog strujanja, gde nema tangencijalne brzine (), dok ostale veličine ne zavise od :
Ove jednačine mogle bi biti pojednotavljene sa, na primer, faktorizovanjem iz članova koji opisuju viskoznost. Međutim, ovo se ne radi kako bi se očuvala struktura Laplasijana i ostalih veličina.
Računajući rotor Navje–Stoksove jednačine rezultira eliminacijom pritiska. Ovo se posebno lako može uočiti ako se pretpostavi dvodimenzionalno strujanje u pravouglim koordinatama (, te da postoji veličina koja zavisi od ). Tada se jednačina svodi na:
Diferenciranjem prve po , a druge po , te oduzimanjem, dobijaju se jednačine u kojima je eliminisan pritisak i svaka potencijalna sila. Definisanjem funkcije strujanja preko
rezultira time da je uslov kontinuiteta mase bezuslovno zadovoljen (ako je data funkcija strujanja neprekidna), te se tada početna jednačina svodi na jednu, koja glasi:
gde je biharmonijski operator i je kinematska viskoznost, . Ova jednačina, zajedno sa određenim graničnim uslovima, opisuje dvodimenzionalno strujanje fluida, uzimajući samo kinematsku viskoznost kao parametar. Može se uočiti da se jednačina za Stoksovo strujanje dobija kada se pretpostavi da je desna strana jednačine jednaka nuli.
Postoji neki izuzetni fenomeni koji su usko povezani sa stišljivošću fluida. Jedan od očitih primera je zvuk. Opisivanje takvog fenomena zahteva generalnije predstavljanje Navje–Stoksovih jednačina, koje uzima u obzir stišljivost fluida. Ako se pretpostavi da je viskoznost konstantna, pojavljuje se jedan dodatni član, kao što je ovde prikazano:
gde je drugi koeficijent viskoznosti. Ovaj koeficijent povezan je sa zapreminskom viskoznošću. Ovaj dodatni član nestaje kada je fluid nestišljiv, te je divergencija strujanja jednaka nuli.
Polyanin, A. D.; Kutepov, A. M.; Vyazmin, A. V.; Kazenin, D. A. (2002), Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, ISBN978-0-415-27237-7
V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.