Отворите главни мени

Ротор (математика)


Ротор векторског поља дефинише се као:[1], где је - вектор чије су компоненте функције Декартових координата.

ДоказУреди

 
Векторско поље на инфинитезималним декартовим контурама

Како се ротор векторског поља увек рачуна за вртложна поља, тј. поља са вртлогом бар у једној тачки, то нас занима гранични процес за малу контуру правоугаоног облика у   равних ивица   и   као на слици, како би добили z-компоненту ротора векторског поља у датој тачки

 , где је  - циркулација векторског поља по контури површине  ,  =

 , добили смо  

компоненту ротора векторског поља  . Поступак се понавља за контуру у xOz равни или за  , односно контуру yOz или за  , те се добија почетно тврђење.

Ротор у генералисаним координатамаУреди

При одређеним симетријама проблема, например цилиндричним или сферним, једноставније је посматрати ротор у генералисаним координатама.  

ДоказУреди

.  , где су   -компоненте ротора дуж генералисаних ортова  ,  , па се компонента  рачуна као   , , стим да су Ламеови коефициенти  и   функције генералисаних координата.

 

 добили смо компоненту ротора  па цикличном пермуацијом координата добијамо остале компоненте, што се концизно изражава као:

 

ПримериУреди

Магнетно поље око бесконачног праволинјског проводника са континуалном расподелом тока електрицитетаУреди

Ово поље задовољава цилиндричну симетрију јер се особине система не мњају ротацијом око осе проводника за произвољни угао, те магнетно поље,- В не зависи од азимуталног угла -φ и описује се диференцијалном једначином: : , где је - а ј- густина електричне струје, μ0 - магнетна пропустљивост вакума. Услед цилиндричне симетрије, горња једначина постаје: =>  ,

Појам векторског магнетног потенцијалаУреди

 
Интеграција по затвореној струјној контури

Из Био Саваровог закона у интегралном облику: , где је I- јачина електричне струје кроз проводну контуру С,  -инфинитезимална промена вектора положаја по контури С, ,  - вектор положаја тачке у којој се посматра магнетно поље струјне контуре С,  - вектор положаја који шета по контури.

Како је   за  и  то магнетно поље можемо изразити као  , где је  

одавде следи да је Магнетно поље вртложно јер је његова дивргенција једнака 0, 

ДоказУреди

 , али како је  , јер је векторски производ колинеарних вектора увек 0 следи почетно тврђење.

РеференцеУреди

Спољашње везеУреди