Rotor (matematika)

Rotor vektorskog polja definiše se kao:$rot({\overrightarrow {v}})=\nabla \times {\overrightarrow {v}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}$, gde je ${\overrightarrow {v}}(x,y,z)={\begin{pmatrix}v_{x}(x,y,z)\\v_{y}(x,y,z)\\v_{z}(x,y,z)\end{pmatrix}}$- vektor čije su komponente funkcije Dekartovih koordinata.

Dokaz

Vektorsko polje na infinitezimalnim dekartovim konturama

Kako se rotor vektorskog polja uvek računa za vrtložna polja, tj. polja sa vrtlogom bar u jednoj tački, to nas zanima granični proces za malu konturu pravougaonog oblika u $xOy$ ravnih ivica $\Delta x$ i $\Delta y$ kao na slici, kako bi dobili z-komponentu rotora vektorskog polja u datoj tački

$rot({\overrightarrow {v}})_{z}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {dr}}}{\Delta S}}$, gde je $\oint {\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {dr}}$- cirkulacija vektorskog polja po konturi površine $\Delta S=\Delta x\Delta y$, $\lim _{\Delta x\Delta y\to 0}{\frac {-v_{x}(x,y,z)\Delta x+v_{x}(x,y+\Delta y,z)\Delta x+v_{y}(x,y,z)\Delta y-v_{y}(x+\Delta x,y,z)\Delta y}{\Delta x\Delta y}}$=

$\lim _{\Delta x\Delta y\to 0}{\frac {-{\frac {\partial v_{x}(x,y,z)}{\partial y}}\Delta x\Delta y+{\frac {\partial v_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\Delta x\Delta y}{\Delta x\Delta y}}=-{\frac {\partial v_{x}(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}(x,y,z)}{\partial x}}$, dobili smo $z$

komponentu rotora vektorskog polja $rot({\overrightarrow {v}})_{z}$. Postupak se ponavlja za konturu u xOz ravni ili za $rot({\overrightarrow {v}})_{y}$, odnosno konturu yOz ili za $rot({\overrightarrow {v}})_{x}$, te se dobija početno tvrđenje.

Rotor u generalisanim koordinatama

Pri određenim simetrijama problema, na primer, cilindričnim ili sfernim, jednostavnije je posmatrati rotor u generalisanim koordinatama. $\nabla \times {\overrightarrow {v}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\overrightarrow {e}}_{1}&h_{2}{\overrightarrow {e}}_{2}&h_{3}{\overrightarrow {e}}_{3}\\{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\\h_{1}v_{1}&h_{2}v_{2}&h_{3}v_{3}\end{vmatrix}}$

Dokaz

.$rot({\overrightarrow {v}})=rot({\overrightarrow {v}})_{1}\cdot {\overrightarrow {e}}_{1}+rot({\overrightarrow {v}})_{2}\cdot {\overrightarrow {e}}_{2}+rot({\overrightarrow {v}})_{3}\cdot {\overrightarrow {e}}_{3}$ , gde su $rot({\overrightarrow {v}})_{i}=rot({\overrightarrow {v}})\cdot {\overrightarrow {e}}_{i}$$,i=1,2,3$-komponente rotora duž generalisanih ortova ${\overrightarrow {e}}_{i}={\frac {1}{h_{i}}}{\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{i}}$, $h_{i}={\sqrt {{\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{i}}\cdot {\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{i}}}}$, pa se komponenta $rot({\overrightarrow {v}})_{1}$računa kao $rot({\overrightarrow {v}})_{3}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {dr}}}{\Delta S}}$ ,${\overrightarrow {\Delta S}}={\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{1}}\times {\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{2}}\Delta q_{1}\Delta q_{2}=h_{1}h_{2}{\overrightarrow {e}}_{q_{1}}\times {\overrightarrow {e}}_{q_{2}}\Delta q_{1}\Delta q_{2}$, stim da su Lameovi koeficienti $h_{1}$i $h_{2}$ funkcije generalisanih koordinata.

$\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {dr}}}{\Delta S}}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {-v_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})+v_{1}(q_{1},q_{2}+\Delta q_{2},q_{3})h_{1}(q_{1},q_{2}+\Delta q_{2},q_{3})+v_{2}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{2}(q_{1},q_{2},q_{3})-v_{2}(q_{1},q_{2}+\Delta q_{1},q_{3})h_{2}(q_{1},q_{2}+\Delta q_{1},q_{3})}{h_{1}h_{2}\Delta q_{1}\Delta q_{2}}}$

$\lim _{\Delta q_{1}\Delta q_{2}\to 0}{\frac {-{\frac {\partial {\Bigl (}h_{1}v_{1}(q_{1},q_{2},q_{3}){\Bigr )}}{\partial q_{2}}}\Delta q_{1}\Delta q_{2}+{\frac {\partial {\Bigl (}h_{2}v_{2}(q_{1},q_{2},q_{3}){\Bigr )}}{\partial q_{1}}}\Delta q_{1}\Delta q_{2}}{h_{1}h_{2}\Delta q_{1}\Delta q_{2}}}=-{\frac {\partial {\Bigl (}h_{1}v_{1}(q_{1},q_{2},q_{3}){\Bigr )}}{h_{1}h_{2}\partial q_{2}}}+{\frac {\partial {\Bigl (}h_{2}v_{2}(q_{1},q_{2},q_{3}){\Bigr )}}{h_{1}h_{2}\partial q_{1}}}$dobili smo komponentu rotora $rot({\overrightarrow {v}})\cdot {\overrightarrow {e}}_{q_{3}}=-{\frac {\partial {\Bigl (}h_{1}v_{1}(q_{1},q_{2},q_{3}){\Bigr )}}{h_{1}h_{2}\partial q_{2}}}+{\frac {\partial {\Bigl (}h_{2}v_{2}(q_{1},q_{2},q_{3}){\Bigr )}}{h_{1}h_{2}\partial q_{1}}}$pa cikličnom permuacijom koordinata dobijamo ostale komponente, što se koncizno izražava kao:

$\nabla \times {\overrightarrow {v}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\overrightarrow {e}}_{1}&h_{2}{\overrightarrow {e}}_{2}&h_{3}{\overrightarrow {e}}_{3}\\{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\\h_{1}v_{1}&h_{2}v_{2}&h_{3}v_{3}\end{vmatrix}}$

Magnetno polje oko beskonačnog pravolinjskog provodnika sa kontinualnom raspodelom toka elektriciteta

Ovo polje zadovoljava cilindričnu simetriju jer se osobine sistema ne mnjaju rotacijom oko ose provodnika za proizvoljni ugao, te magnetno polje,- V ne zavisi od azimutalnog ugla -φ i opisuje se diferencijalnom jednačinom: :$rot({\overrightarrow {B}})=\mu _{0}{\overrightarrow {j}}$, gde je - a j- gustina električne struje, μ₀ - magnetna propustljivost vakuuma. Usled cilindrične simetrije, gornja jednačina postaje:$\mu _{0}{\overrightarrow {j}}={\frac {1}{1\cdot \rho \cdot 1}}{\begin{vmatrix}1\cdot {\overrightarrow {e}}_{\rho }&\rho {\overrightarrow {e}}_{\phi }&1\cdot {\overrightarrow {k}}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\1\cdot B_{\rho }&\rho B_{\phi }&1\cdot B_{z}\end{vmatrix}}$=> $\mu _{0}j={\partial {\Bigl (}\rho B_{\phi }{\Bigr )} \over \rho \partial \rho }$,

Pojam vektorskog magnetnog potencijala

Integracija po zatvorenoj strujnoj konturi

Iz Bio Savarovog zakona u integralnom obliku:${\overrightarrow {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint \limits _{C}\displaystyle {Id{\overrightarrow {l}}\times {\overrightarrow {R}} \over R^{3}}$, gde je I- jačina električne struje kroz provodnu konturu S, $d{\overrightarrow {l}}$-infinitezimalna promena vektora položaja po konturi S,${\overrightarrow {R}}={\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {l}}$, ${\overrightarrow {r}}$- vektor položaja tačke u kojoj se posmatra magnetno polje strujne konture S, ${\overrightarrow {l}}$- vektor položaja koji šeta po konturi.

Kako je ${{\overrightarrow {R}} \over R^{3}}=-\nabla {\Bigl (}{\frac {1}{R}}{\Bigr )}$ za $\nabla ={\partial \over \partial x}{\overrightarrow {i}}+{\partial \over \partial y}{\overrightarrow {j}}+{\partial \over \partial z}{\overrightarrow {k}}$i $d{\overrightarrow {l}}\times -\nabla {\Bigl (}{\frac {1}{R}}{\Bigr )}=\nabla {\Bigl (}{\frac {1}{R}}{\Bigr )}\times d{\overrightarrow {l}}$to magnetno polje možemo izraziti kao ${\overrightarrow {B}}=rot{\overrightarrow {A}}$, gde je ${\overrightarrow {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint \limits _{C}\displaystyle {Id{\overrightarrow {l}} \over R}$

odavde sledi da je Magnetno polje vrtložno jer je njegova divrgencija jednaka 0,$div(rot{\overrightarrow {A}})=0$

Dokaz

$div(rot{\overrightarrow {A}})=[\nabla ,\nabla ,{\overrightarrow {A}}]=\nabla \cdot \nabla \times {\overrightarrow {A}}=-\nabla \times \nabla \cdot {\overrightarrow {A}}$, ali kako je $\nabla \times \nabla =0$, jer je vektorski proizvod kolinearnih vektora uvek 0 sledi početno tvrđenje.

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Curl”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Ideja rotora u vektorskom polju
• Objašnjenje rotora