Rotor (matematika)


Rotor vektorskog polja definiše se kao:[1], gde je - vektor čije su komponente funkcije Dekartovih koordinata.

Dokaz uredi

 
Vektorsko polje na infinitezimalnim dekartovim konturama

Kako se rotor vektorskog polja uvek računa za vrtložna polja, tj. polja sa vrtlogom bar u jednoj tački, to nas zanima granični proces za malu konturu pravougaonog oblika u   ravnih ivica   i   kao na slici, kako bi dobili z-komponentu rotora vektorskog polja u datoj tački

 , gde je  - cirkulacija vektorskog polja po konturi površine  ,  =

 , dobili smo  

komponentu rotora vektorskog polja  . Postupak se ponavlja za konturu u xOz ravni ili za  , odnosno konturu yOz ili za  , te se dobija početno tvrđenje.

Rotor u generalisanim koordinatama uredi

Pri određenim simetrijama problema, na primer, cilindričnim ili sfernim, jednostavnije je posmatrati rotor u generalisanim koordinatama.  

Dokaz uredi

.  , gde su   -komponente rotora duž generalisanih ortova  ,  , pa se komponenta  računa kao   , , stim da su Lameovi koeficienti  i   funkcije generalisanih koordinata.

 

 dobili smo komponentu rotora  pa cikličnom permuacijom koordinata dobijamo ostale komponente, što se koncizno izražava kao:

 

Primeri uredi

Magnetno polje oko beskonačnog pravolinjskog provodnika sa kontinualnom raspodelom toka elektriciteta uredi

Ovo polje zadovoljava cilindričnu simetriju jer se osobine sistema ne mnjaju rotacijom oko ose provodnika za proizvoljni ugao, te magnetno polje,- V ne zavisi od azimutalnog ugla -φ i opisuje se diferencijalnom jednačinom: : , gde je - a j- gustina električne struje, μ0 - magnetna propustljivost vakuuma. Usled cilindrične simetrije, gornja jednačina postaje: =>  ,

Pojam vektorskog magnetnog potencijala uredi

 
Integracija po zatvorenoj strujnoj konturi

Iz Bio Savarovog zakona u integralnom obliku: , gde je I- jačina električne struje kroz provodnu konturu S,  -infinitezimalna promena vektora položaja po konturi S, ,  - vektor položaja tačke u kojoj se posmatra magnetno polje strujne konture S,  - vektor položaja koji šeta po konturi.

Kako je   za  i  to magnetno polje možemo izraziti kao  , gde je  

odavde sledi da je Magnetno polje vrtložno jer je njegova divrgencija jednaka 0, 

Dokaz uredi

 , ali kako je  , jer je vektorski proizvod kolinearnih vektora uvek 0 sledi početno tvrđenje.

Reference uredi

  1. ^ „Teorija polja” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 14. 07. 2018. g. 

Spoljašnje veze uredi