Комутативни прстен

У теорији прстена, грани апстрактне алгебре, комутативни прстен је прстен у коме је операција множења комутативна. Ово значи да ако су a и b било која два елемента прстена, онда је a×b=b×a.

Проучавање комутативних прстена се назива комутативна алгебра.

ПримериУреди

Најважнији пример је прстен целих бројева са операцијама сабирања и множења. Уобичајено множење целих бројева је комутативно. Прстен се обично обележава словом Z, од немачке речи Zahlen (бројеви).
Рационални, реални и комплексни бројеви чине комутативне прстене; они су штавише поља.
Општије, свако поље је комутативни прстен, па је класа поља поткласа класе комутативних прстенова.
Прост пример некомутативног прстена је скуп свих матрица димензије 2-са-2 чији су елементи реални бројеви. На пример, множење матрица

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}

није једнако множењу изведеном супротним редоследом:

{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.

Ако је n позитиван цео број, тада скуп Z_n целих бројева по модулу n чини комутативни прстен са n елемената (види модуларна аритметика).
Ако је R дати комутативни прстен, онда је скуп свих полинома променљиве X чији коефицијенти су из R гради нови комутативни прстен који се означава са R[X].