Лагранжова теорема

Геометријска интерпретација Лагранжове теореме

Лагранжова теорема (енгл. mean value theorem) је једна од основних теорема диференцијалног рачуна и уопште математичке анализе.[1][2] Често се још назива и теорема о средњој вредности диференцијалног рачуна.

ФормулацијаУреди

Ако је функција f:

онда постоји тачка   из интервала  , таква да је:[3]

 

Доказ 1[4]Уреди

Посматрајмо функцију

 .

И она је непрекидна на   и диференцијабилна на  . Одредимо   за које функција   задовољава услове Ролове теореме.

Дакле, да би било  , мора бити:

 

Тада, по условима Ролове теореме, постоји тачка   из интервала  , таква да је:

  те је
 

Доказ 2Уреди

Посматрајмо функцију

 

Како је функција   непрекидна и диференцијаблна на интервалу  , односно  , и функција   је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више,  , што значи да на функцију   можемо применити Ролову теорему.

Први извод функције   је:

 

Према Роловој теореми сада следи да постоји тачка  , таква да је  , тј.

 ,

односно:

 ,

што је и требало да се покаже.

Геометријска интерпретацијаУреди

 
Геометријска интерпретација: За било коју функцију непрекидну на [a, b] и диференцијабилну на (a, b), постоји тачка c из интервала (a, b) у којој је тангента (tangent) паралелна са сечицом (secant) која повезује крајеве интервала [a, b].

Геометријски значај ове теореме се састоји у томе да под датим условима постоји тангента криве   у некој тачки  , која припада затвореном интервалу  , паралелна са сечицом која пролази кроз тачке   и  

Механичка интерпретацијаУреди

Ако се тачка креће по закону  , где је   непрекидна на   и диференцијаблна на  , онда постоји тренутак   у ком је тренутна брзина   једнака средњој брзини на интервалу  , која износи  , управо јер постоји то   када је:  

Последице и напоменеУреди

  • Као ни Ролова теорема, ни Лагранжова теорема нам не даје информацију о конструкцији тачке  , као ни о броју таквих тачака.
  • Такође, последица Лагранжове теореме је и следеће: Ако је за свако   из затвореног интервала  ,  , онда је функција   константна на затвореном интервалу  .
  • Лагранжова теорема се може посматрати као уопштење Ролове теореме. Наиме, за  , добијамо функцију која испуњава све услове Ролове теореме.
  • Два важна уопштења Лагранжове формуле, тј. теореме, су Кошијева теорема и Тејлорова теорема.


Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ Математичка анализа, (Проф. Др Светозар Курепа), први дио - диференцирање и интегрирање, Техничка књига, Загреб, 1975.
  2. ^ Виша математика I (академик Радивоје Кашанин), четврто издање, Завод за издавање уџбеника СРБиХ, Сарајево, 1969.
  3. ^ Eric, Weisstein. „Mean-Value Theorem”. MathWorld. Wolfram Research. Приступљено 24. 3. 2011. 
  4. ^ "Математичка анализа 1", (Проф. Др Душан Аднађевић, Проф. Др Зоран Каделбург), Студентски трг, Београд, 1995.