Параболични цилиндрични координатни систем

Параболични цилиндрични координатни систем је тродимензионални координатни систем. Настаје пројекцијом дводимензионалнога параболичкога координатнога система у смеру $z$-оси. Координатне површи су због тога конфокални параболички цилиндри.

Дефиниција

Параболичке цилиндричне координате $(\sigma ,\tau ,z)$ дефинишу се помоћу картезијевих координата као:

$x=\sigma \tau \,$

$y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$

$z=z\,$

Површи константнога $\sigma$ обликују конфокалне параболичне цилиндре:

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

које су отворене нагоре. С друге стране површи константнога $\tau$ обликују конфокалне параболичне цилиндре:

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

који су отворени у супротном смеру. Полумер r има једноставну формулу:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$

која је корисна за решавање Хамилтон-Јакобијеве једначине у параболичким координатама.

Ламеови кооефицијенти

Ламеови кооефицијенти за параболичке цилиндричке координате $\sigma$ и $\tau$ су:

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{z}=1\,$.

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz$

а Лапласијан је дан са:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

Параболични цилиндрични хармоници

Лапласова једначина у параболичном цилиндричном систему може да се реши сепарацијом варијабли, па се решење Лапласове једначине може претпоставити као:

$V=S(\sigma )\,T(\tau )\,Z(z)$

а Лапласова једначина се након дељења са V пише као:

${\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0$

Пошто је део по Z  даде сепарирати онда можемо да пишемо:

${\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}$

Други део може да се напише као:

$\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})$

Тај део опет може да се сепарира на два дела односно на:

${\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0$

${\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0$

Решења те три различите сепариране једначине је:

$Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}\,$

$S_{mn}(\sigma )=A_{3}\,y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}\,y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})$

$T_{mn}(\tau )=A_{5}\,y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}\,y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})$

Решења друге и треће једначине представљају параболичке цилиндричне функције. Коначно решење је облика:

$V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}\,$

Литература

• Параболичне цилиндричне координате
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X