У геометрији, петоугао (одe грчког πέντε pente са значењем пет и γωνία gonia са значењем угао[1]) многоугао је са пет темена и пет страница. Сума унутрашњих углова једноставног петоугла је 540°.

Петоугао
Equilateral pentagon.SVG
Једнакостранични петоугао, односно петоугао чијих пет страница има исту дужину
Ивице и темена5
Унутрашњи угао (степени)108° (ако je једнакоугаон, укључујући и регуларaн)

Правилни петоугаоУреди

 
Правилни петоугао, стране ( ), радијус описаног круга ( ), радијус уписаног круга ( ), висине (( )), односа ширина/дијагонала ( )

Правилни петоугао је петоугао код кога су све странице једнаке дужине и сви унутрашњи углови једнаки. Сваки унутрашњи угао правилног петоугла има по 108° (степени), а збир свих унутрашњих углова било ког петоугла износи 540°. Ако му је основна страница дужине  , површина правилног петоугла се одређује формулом  .

Површина се може израчунати и са
 
где је   - полупречник описаног круга, а   - полупречник уписаног круга. Обим петоугла коме је страница дужине   биће једнак  . Однос дијагонале и странице петоугла једнак је  , што одговара златном пресеку.

Правилан петоугао има пет линија рефлексијске симетрије, и ротациону симетрију реда 5 (кроз 72°, 144°, 216° и 288°). Дијагонале конвексног правилног петоугла су у златном пресеку према његовим страницама. Његова висина (удаљеност од једне стране до супротног врха) и ширина (удаљеност између две најудаљеније раздвојене тачке, која је једнака дужини дијагонале) су дате као

 
 
 
 

где је R полупречник описаног круга.

Површина конвексног правилног петоугла са дужином странице t је дата са

 

Када је правилан петоугао описан кругом полупречника R, његова дужина ивице t је дата изразом

 

а његова површина је

 

пошто је површина описаног круга   правилни пентагон испуњава приближно 0,7568 свог описаног круга.

Извођење формуле површинеУреди

Површина било ког правилног полигона је:

 

где је P обим полигона, а r полупречник (еквивалентно апотема). Замена вредности регуларног пентагона за P и r даје формулу

 

са дужином странице t.

ИнтрарадијусУреди

Слично сваком правилном конвексном полигону, правилан конвексни петоугао има уписан круг. Апотема, која је полупречник r уписаног круга, правилног петоугла је повезана са дужином странице t помоћу

 

Тетиве од описаног круга до врховаУреди

Као и сваки правилан конвексни многоугао, правилни конвексни петоугао има описан круг. За правилан петоугао са узастопним врховима A, B, C, D, E, ако је P било која тачка на описаној кружници између тачака B и C, онда је PA + PD = PB + PC + PE.

Тачка у равниУреди

За произвољну тачку у равни правилног петоугла са полупречником круга  , чија су растојања до тежишта правилног пентагона и његових пет врхова   и   респективно, важи[2]

 
 
 
 

Ако су   растојања од врхова правилног петоугла до било које тачке на његовој описаној кружници, онда је [2]

 

КонструкцијаУреди

Правилни петоугао се може конструисати уз помоћ лењира и шестара. Следећа анимација илуструје корак по корак, једну од могућих конструкција.

 
Анимирани приказ конструкције петоугла помоћу шестара и лењира

Еуклидов методУреди

 
Еуклидов метод за пентагон у датом кругу, коришћење златног троугла, анимација 1 мин 39 s

Правилан петоугао се може конструисати помоћу шестара и лењира, било уписивањем у дати круг, или конструисањем на датој ивици. Овај процес је описао Еуклид у својим Елементима око 300. године пне.[3][4]

ГалеријаУреди

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ "pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, June 2014. Web. 17 August 2014.
  2. ^ а б Meskhishvili, Mamuka (2020). „Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids”. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340 . 
  3. ^ George Edward Martin (1998). Geometric constructions. Springer. стр. 6. ISBN 0-387-98276-0. 
  4. ^ Fitzpatrick, Richard (2008). Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (PDF). Превод: Richard Fitzpatrick. стр. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1. 

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди