Фигуративни број

Израз фигуративни број различити писаци користе за чланове различитих скупова бројева, генерализујући од троугаоних бројева до различитих облика (полигонални бројеви) и различитих димензија (полихедрални бројеви). Израз може да значи

полигонални број
број представљен као дискретни r-димензионални правилни геометријски образац r-димензионалне лопте, као што је полигонални број (за r = 2) или полихедрални број (за r = 3).
члан подскупа горенаведеног скупа садржи само троугаоне бројеве, пирамидалне бројеве, и њихове аналоге у другим димензијама.^[1]

Терминологија

О неким врстама фигуративних бројева се дискутовало у 16. и 17. веку под називом фигурални бројеви.^[2]

У историјским радовима о Грчкој математици најчешће употребљиван израз је фигуративни број.^[3]^[4]

За употребу од Арс Коњектанди Јакоба Бернулија,^[1] термин фигуративни број се користио за троугаоне бројеве састављене од узастопних целих бројева, тетраедалних бројева састављених од узастопних троугаоних бројева, итд. Испоставило се да су ово биномни коефицијенти. У овој употреби квадратни бројеви 4, 9, 16, 25 се не би сматрали фигуративним бројевима распоређеним у квадрат.

Велики број других извора користи термин фигуративни број као синоним за полигоналне бројеве, без обзира да ли је само уобичајена врста или су оба и центрирани полигонални бројеви.

Историја

Математичка истраживања фигуративних бројева показала су да су они настали са Питагором, врло вероватно на основу вавилонских или египатских прекурзора. Генерисање било које класе фигуративних бројева Питагорејци су истраживали користећи гномоне такође приписане Питагори. Нажалост, не постоји веродостојан извор за ове тврдње, због тога што су сви постојећи списи о Питагорејцима^[5] из каснијих векова.^[6] Чини се да је сигурно да је четврти троугаони број од десет објеката, тзв. тетрактис у Грчкој, био централни део питагорејске религије, заједно са неколико других личности такође називаних тетрактис. Фигуративни бројеви су били брига питагорејске геометрије.

Модерна студија фигуративних бројева сеже до Фермата, конкретно теореме Ферматовог полигоналног броја. Касније, то је постала значајна тема за Ојлера, који је дао експлицитну формулу за све троугаоне бројеве који су савршени квадрати, међу многим другим открићима у вези са фигуративним бројевима.

Фигуративи бројеви су имали значајну улогу у модерној рекреативној математици.^[7] У математичким истраживањима, фигуративни бројеви су проучавани путем Ерхартових полинома, полинома који рачунају број целобројних тачака у полигонима или полихедронима када је проширено датим фактором.^[8]

Троугаони бројеви

Троугаони бројеви за n = 1, 2, 3, ... су резултат супротстављања линеарних бројева (линеарних гномона) за n = 1, 2, 3, ...:

Ово су биномни коефицијенти $n+1 \choose 2$ . Ово је случај када је r=2 чињенице да r-та дијагонала Паскаловог троугла за $r\geq 0$ садржи фигуративни број за r-димензионалне аналоге троугла (r-димензионални симплекси).

Значајни политопски бројеви за r = 1, 2, 3, 4, ... су:

$P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={n+0 \choose 1}$ (линеарни бројеви),
$P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}$ (троугаони бројеви),
$P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={n+2 \choose 3}$ (тетраедални бројеви),
$P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={n+3 \choose 4}$ (пентакорични бројеви, пентатопијски бројеви,4-симплекс бројеви),

$...$

$P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)...(n+r-1)}{r!}}={n+r-1 \choose r}$ (r-топски бројеви, r-симлпекс бројеви).

Изрази квадратни број и кубни број потичу из њиховог геометријског представљања као квадрат или коцка. Разлика два позитивна троугаона броја је трапезоидни број.

Гномон

Гномон је део додат фигуралном броју да га трансформише до следећег већег броја.

На пример, гномон квадратног броја је непаран број, опште форме 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3, ... . Квадрат величине 8 састављен од гномона изгледа овако:

8 8 8 8 8 8 8 8

8 7 7 7 7 7 7 7

8 7 6 6 6 6 6 6

8 7 6 5 5 5 5 5

8 7 6 5 4 4 4 4

8 7 6 5 4 3 3 3

8 7 6 5 4 3 2 2

8 7 6 5 4 3 2 1

За трансформацију из n-квадрата (квадрат величине n) до (n + 1)-квадрата, један се граничи са 2n + 1 елемената: један са крајем сваког реда (n елемената), један са крајем сваке колоне (n елемената), и један једини са углом. На пример, за трансформацију 7-квадрата у 8-квадрат, додајемо 15 елемената; ово граничење је приказано на фигури изнад.

Гномон техника такође обезбеђује математички доказ да је збир првих n непарних бројева n²; фигура илуструје 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8².

Референце

^ ^а ^б Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers
^ Simpson, J. A.; Weiner, E. S. C., ур. (1992). The Compact Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford, England: Clarendon Press. стр. 587. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ)
^ Heath, T., A history of Greek Mathematics by
^ Maziarz, E. A., Greek Mathematical Philosophy
^ Taylor, Thomas, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans
^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C., A History of Mathematics (Second изд.), стр. 48
^ Kraitchik, Maurice (2006), Mathematical Recreations (Second Revised изд.), Dover Books, ISBN 978-0-486-45358-3
^ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 15—36, MR 2134759

Литература

Gazalé, Midhat J. (1999). Gnomon: From Pharaohs to Fractals. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00514-0.
Deza, Elena; Michel Marie Deza (2012). Figurate Numbers, First Edition. World Scientific. ISBN 978-981-4355-48-3.
Heath, Thomas Little (2000). A history of Greek Mathematics: Volume 1. From Thales to Euclid. Adamant Media Corporation. ISBN 978-0-543-97448-8.
Heath, Thomas Little (2000). A history of Greek Mathematics: Volume 2. From Aristarchus to Diophantus. Adamant Media Corporation. ISBN 978-0-543-96877-7.
Dickson, Leonard Eugene (1923), History of the Theory of Numbers (three volume set), Chelsea Publishing Company, Inc., ASIN B000OKO3TK
Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. A History of Mathematics, Second Edition.

[Dickson-1] а ^б Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers

[2] Simpson, J. A.; Weiner, E. S. C., ур. (1992). The Compact Oxford English Dictionary (2nd изд.). Oxford, England: Clarendon Press. стр. 587. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ)

[3] Heath, T., A history of Greek Mathematics by

[4] Maziarz, E. A., Greek Mathematical Philosophy

[5] Taylor, Thomas, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans

[6] Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C., A History of Mathematics (Second изд.), стр. 48

[7] Kraitchik, Maurice (2006), Mathematical Recreations (Second Revised изд.), Dover Books, ISBN 978-0-486-45358-3

[8] Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 15—36, MR 2134759

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]